Сетевая библиотекаСетевая библиотека

Уч. пособие. ПТ.Сахаров, Андрианов

Дата публикации: 20.02.2013
Тип: Текстовые документы DOCX
Размер: 3.16 Мбайт
Идентификатор документа: -19760825_158192963
Файлы этого типа можно открыть с помощью программы:
Microsoft Word из пакета Microsoft Office
Для скачивания файла Вам необходимо подтвердить, что Вы не робот

Предпросмотр документа

Не то что нужно?


Вернуться к поиску
Содержание документа


КОРРЕКЦИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА имени адмирала С. О. МАКАРОВА»



Е.Н. Андрианов, В.В. Сахаров

Компьютерные моделипортовой перегрузочной техники

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2013

УДК

ББК

Рецензент:

Доктор технических наук, профессор

А.А.Сикарев

Е.Н. Андрианов, В.В. Сахаров. Компьютерные модели портовой перегрузочной техники. Учеб.пособие. – СПб.: ФГБОУ ВПО «ГУМРФ имени адмирала С,О, Макарова», 2013.- с.



Рассматриваются компьютерные модели портовой перегрузочной техники, излагаются общие правила выполнения расчетов и моделирования в среде MATLAB. Предлагаются алгоритмы и программное обеспечение для реализации траекторий движения двухзвенного робота-манипулятора, управляемого двумя двигателями. Анализируются модели параметрической оптимизации звеньев манипулятора по минимуму среднеквадратичной ошибки заданной и аппроксимируемой траекторий перемещения груза. Рассматриваются алгоритмы и приводятся файлы с программами для моделирования параметрической оптимизации конструкции подъемного механизма с подвижным цилиндром, оптимизации параметров механизма при сборке узла, оптимизации процесса грузовой обработки судна в порту, оптимизации распределения ресурсов между объектами порта по критерию максимального дохода.

УДК

ББК



ВВЕДЕНИЕ

Развитие информационных технологий позволяет использовать их при компьютерном моделировании транспортных процессов, в том числе при оптимизации конструктивных параметров портовых механизмов и режимов работы портовой техники.

Специфика компьютерного моделирования состоит в идентификации траекторных процессов работы портовых механизмов, базирующихся на математической обработке экспериментальных данных, представленных в различных формах.

Для подготовки технических специалистов среда MATLAB является незаменимым инструментом моделирования и исследования прикладных систем. Система MATLAB представляет собой сплав универсальных программных и алгоритмических средств.MATLAB считается одной из популярнейших систем автоматизации математических расчетов, построенная на широком применении матричного аппарата для выполнения вычислительных операций.Наиболее известными направлениями и областями применения системы MATLAB являются математические расчеты.разработка алгоритмов и программных средств, имитационное моделирование, анализ экспериментальных данных, визуализация результатов эксперимента и др. MATLABимеет десяткиматематических пакетов расширения (инструментариев – toolboxes), ориентированных на решение задач в конкретной предметной области.Например, СontrolToolboxпредназначается для анализа и синтеза систем управления, OptimizationToolboxсодержит набор функций для решения задач исследования операций, FuzzyLogicToolboxпредставляет инструментарий для моделирования нечеткихмножеств, NeuralNetworkBlocksetпозволяет описать поведение искусственных нейронных сетей.Приложения, представленные инструментариями FinancialToolbox иFinancialDerivativeToolbox, образуют вычислительную среду для проведения инженерных и аналитических финансовых расчетов (вычисление и анализ цен, портфельный анализ, оценка стратегий хеджирования, расчеты денежных потоков, моделирование и прогнозирование). Пакет StatisticsToolboxориентирован на широкий спектр практических задач. Он содержит инструментарий, позволяющий в полной мере проводить статистические исследования, планировать эксперимент и управлять качеством продукции.

Пакет расширения Simulink в среде MATLABпредназначен для решения задач блочного моделирования динамических систем и устройств. Этот пакет является ядром интерактивного программного комплекса, предназначенного для математического моделирования технологических процессов, линейных и нелинейных систем управления с применением функций других пакетовMATLAB. Популярность пакета определяется простотой и наглядностью составления моделей и их использованием студентами различных специальностей для выполнения курсовых и дипломных работ, а также проведения научных исследований.

Использование системы MATLAB в учебном процессе позволяет расширить связь и реализовать комплексный подход к изучению дисциплин информационного и управленческого циклов с проведением расчетов, закрепляющих знания, полученные студентами на лекционных занятиях, привить необходимые навыки для проектирования и исследования сложных динамических систем.

Основная цель учебного пособия состоит в создании информационного (программного) обеспечения математических моделей оптимизации режимов работы портово-перегрузочной техники, базирующихся на применении вычислительной техники.

Учебное пособие предназначено для студентов факультета портовой техники и электромеханики ГУМИРФ им. адмирала С.О. Макарова.

1. Краткие сведения о правилах работы в вычислительной среде MATLAB

1.1. Краткие сведения о правилах работы в среде MATLAB.

После запуска пакета MATLAB на экране монитора появятся комбинированное окно MATLAB (Текущий каталог) и окно CommandWindow (Командное окно), приведенные на рис 1.1



Рис1.1 Вид "Рабочего стола" компьютера при работес программой MATLAB

В командном окне набираются команды пользователя, подлежащие немедленному выполнению, а также производятся прямые вычисления в режиме калькулятора. В окне текущего каталога располагаются команды главного меню (верхняя строка), а ниже располагается панель инструментов.

К командам главного меню относятся: ФАЙЛ (File), ПРАВКА (Edit), ВИД (View), ВЕБ (WEB) и т.д.

Остановимся на команде ФАЙЛ (File), в выпадающем меню которого содержатся команды, позволяющие производить различные операции с файлом:

1. Новый (New) – открытие нового файла, в котором записывается текстпрограммы.

2. Открыть (Open) – позволяет открыть существующий файл с программой.

3. Закрыть (CloseCommandWindows) - позволяет закрыть ранее открытый файл с программой.

4. Сохранить Рабочую Область как … (SaveWorkspaseAs…) - сохраняет значения всех переменных в файле с указанием места сохранения.

5. Печать (Print) – вывод на печать активного окна программы MATLAB.

Из панели инструментов остановимся на следующих:

Новый (New) М-файл (M – file) - режим текстового редактора новой программы с возможностью отладки программы.

Открыть (Open) - позволяет открыть существующий файл с программой.

В режиме Редактора (Edit) появляются следующие пункты меню: ФАЙЛ (File), ПРАВКА (Edit), ВИД (View), ТЕКСТ (Text), ОТЛАДКА (Debug), ТОЧКИ ОСТАНОВА (Breakpoints), ВЕБ (WEB), ОКНО (Window).

В меню ОТЛАДКА (Debug) находится команда ЗАПУСК (Run) или СОХРАНИТЬ И ЗАПУСТИТЬ (SaveandRun) позволяющая выполнить М – ФАЙЛ (M – file).

При работе в среде MATLAB в основном используются следующие режимы:

1.Режим прямых вычислений.

2.Режим редактора.

3.Режим записи\чтения файлов.

Правила работы в режиме прямых вычислений:

1.Открыть MATLAB.

2.Открыть Командное окно (CommandWindow).

3.После появления приглашения к работе, обозначенного знаком " >> ", можно ввести строку с данными, формулой или командой, завершив ввод строки нажатием клавиши "ВВОД" ("Enter''). Результат выполнения введенных данных, формул или команд должен появиться в командном окне (см. рис. 1.2).



Рис 1.2 Окно редактора программы MATLAB

Правила работы в режиме редактора:

1.Открыть MATLAB.

2.При создании нового файла в окне текущего каталога MATLAB на панели инструментов вызвать режим редактора -->Новый --> М-файл.

3.Набрать текст новой программы.

Различные изменения и коррекцию команд следует выполнять с помощью текстового редактора с последующимсохранением созданного (откорректированного) файла путем воздействия левой кнопкой мыши на «дискету», расположенную на панели окна редактора.

4.Проверить сохранение созданного файла.

1.2.Вычисление математических выражений:

Основные операторы: "+ " (сложение), " – " (вычитание), " * " (умножение), ".* " (поэлементное умножение), " / " (деление слева направо), "./ " (поэлементное деление слева направо), " \ " (деление справа налево), " .\ " (поэлементное деление справа налево), " ^ " (возведение в степень), " .^ " (поэлементное возведение в степень), " ' " (апостроф, транспонирование матрицы, вектора).

Функции: sin, cos, tan, cot, sec, csc (тригонометрические), asin, acos (обратные тригонометрические), sqrt (корень квадратный), log (натуральный логарифм), log2, log10 (логарифмы по основанию 2 и 10 соответственно), round(округление), abs (модуль числа).

ЗАНЯТИЕ № 1

1.2.1.Примеры вычислений

Рассмотрим кратко операции с векторами и матрицами, используемые в режиме прямых вычислений.

Современный матричный аппарат применяется практически во всех сферах инженерной деятельности и научных исследованиях, в той или иной мере связанных с количественными оценками, необходимыми для выполнения различных расчетов и принятия количественно обоснованных решений. В вычислительной среде MATLAB пользователю предоставлена возможность получения таких оценок практически без составления программ, путем выполнения расчетов в режиме прямых вычислений. Рассмотрим последовательность выполнения вычислений на ряде примеров. С этой целью вкомандной строке после мигающего знака " >> ", называемого промптом и означающего приглашение к работе, следует ввести требуемую операцию, нажать клавишу "ВВОД" (ENTER) и получить результат «ans».Рассмотрим кратко выполнение операций над векторами и матрицами в режиме прямых вычислений:

ПРИМЕР 1

>> 7-9+12-4

ans = 6

ПРИМЕР 2

>>log(1)

ans =0

>>exp(0)

ans =1

ПРИМЕР 3

>>log(73.8030)

ans =4.3014

>>exp(4.3014)

ans =73.8030

ПРИМЕР 4

>>>>exp(1)

ans = 2.7183

>>log(2.7183)

ans = 1.0000

>>log10(1000)

ans = 3

>> 10^3

ans = 1000

>>log2(32)

ans = 5

>> 2^5

ans = 32

Выполним несколько операций над векторами и матрицами. Условимся матрицы обозначать большими буквами, а вектора – малыми.При задании матрицы в квадратных скобках указываются значения чисел строк матрицы, разделяемые пробелами. Строки разделяются точкой с запятой "; ".

1.2.2. Матрицы.

Сложение и вычитание матриц:

ПРИМЕР 5

A=[1 -2 -4;3 -5 6]; B=[4 5 -1;-2 2 -3];

A+B;

ans =

5 3 -5

1 -3 3

ПРИМЕР 6

A=[1 3;-2 5]; B=[-4 2;3 -3]; C=[3 -1;-4 2];

D=A+B+C

ans =

0 4

-3 4

ПРИМЕР 7

A1=D-B-C

A1 =

1 3

-2 5

Умножение матрицы на число

ПРИМЕР 8

A=[2 -4 3 1 5;-1 3 -2 6 2];

mu=4;

Найти

mu*A

ans =

8 -16 12 4 20

-4 12 -8 24 8

ПРИМЕР 9

A=[1 -3 5;-4 3 -2;2 7 1]; B=[4 5 -6;2 -2 1;3 -9 2];

Найти

A+B

ans =

5 2 -1

-2 1 -1

5 -2 3

ПРИМЕР 10

2*B

ans =

8 10 -12

4 -4 2

6 -18 4

ПРИМЕР 11

3*A+2*B

ans =

11 1 3

-8 5 -4

12 3 7

ПРИМЕР 12

2*(3*A-2*B)

ans =

-10 -38 54

-32 26 -16

0 78 -2

ПРИМЕР 13

Умножение векторов (строка на столбец):

a=[-3 2 1 -2]; b=[2 -3 4 1]';

a*b

ans =

-10

Поэлементное умножение векторов:

a.*b'

ans =

-6 -6 4 -2

ПРИМЕР 14

Матрицы неперестановочны, что подтверждается путем выполнения следующих операций:

A=[1 -3 5;-4 3 -2;2 7 1]; B=[4 5 -6;2 -2 1;3 -9 2];

A*B

ans =

13 -34 1

-16 -8 23

25 -13 -3

B*A

ans =

-28 -39 4

12 -5 15

43 -22 35

ПРИМЕР 15

Умножение прямоугольных матриц:

A=[2 -1;4 3;1 -2;5 1]; B=[1 -5 4;7 1 3];

A =

2 -1

4 3

1 -2

5 1

>> B

B =

1 -5 4

7 1 3

A*B

ans =

-5 -11 5

25 -17 25

-13 -7 -2

12 -24 23

ПРИМЕР 16

Транспонирование:

A=[4 7;-2 -3;5 -6]

A'

ans =

4 -2 5

7 -3 -6

Получение симметрической матрицы:

A=[2 5 -3;-1 3 1;4 -3 6]

B=A+A'

B =

4 4 1

4 6 -2

1 -2 12

ПРИМЕР 17

Многочлены от матриц.

а). Найти многочлен от матрицы A,если f(x)=x^2+2*x+3 и

A=[1 1 0;1 1 1;1 0 1]; I=eye(3);

Решение: f(A)=

A^2+2*A+3*I

ans =

7 4 1

5 7 4

4 1 6

b).Найти B^2,если B=[cos(alf) -sin(alf);sin(alf) cos(alf)].

Введем символьную переменную «alf» и используем «simple» – операцию упрощения математической записи D:

symsalf

B=[cos(alf) -sin(alf);sin(alf) cos(alf)]

D=B^2;

D=simple(D)

D =

[ cos(2*alf), -sin(2*alf)]

[ sin(2*alf), cos(2*alf)]

c). Найти для той же B матрицу B^5:

D1=B^5;

D1=simple(D1)

D1 =

[ cos(5*alf), -sin(5*alf)]

[ sin(5*alf), cos(5*alf)]

Выполним численную проверку полученного результата (углы в вычислительных средах принято задавать в «радианах»):

alf=pi/180*37;

B=[cos(alf) -sin(alf);sin(alf) cos(alf)]

B*B*B*B*B

ans =

-0.9962 0.0872

-0.0872 -0.9962

D1=[cos(5*alf) -sin(5*alf);sin(5*alf) cos(5*alf)]

D1 =

-0.9962 0.0872

-0.0872 -0.9962

ПРИМЕР 17

Обращение (инверсия) матрицы.

Для обращения матрицы используем оператор «inv». С помощью оператора «rand» зададим квадратную матрицу Aразмерности (4 x4) из случайных чисел с равномерным распределением. Затем определим обратную матрицу B. Проверим решение путем умножения A*B или B*A. В обоих случаях получим единичную матрицу I:

A=rand(4,4)

A =

0.6948 0.4387 0.1869 0.7094

0.3171 0.3816 0.4898 0.7547

0.9502 0.7655 0.4456 0.2760

0.0344 0.7952 0.6463 0.6797

>> B=inv(A)

B =

-0.0503 0.8024 0.8645 -1.1895

1.4711 -3.2118 -0.0787 2.0627

-3.2986 3.6604 1.2312 -1.1216

1.4180 0.2363 -1.1225 0.1848

>> A*B

ans =

1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000

0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000

>> B*A

ans =

1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000

-0.0000 1.0000 0 0.0000

-0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

-0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000

Инвертировать можно только квадратные матрицы, имеющие одинаковое число строк и столбцов.

ПРИМЕР 18

Для задания мнимой части комплексного числа используют операторы «i», либо «j», означающие квадратный корень из числа (-1), т.е. sqrt(-1).

Определим произведение двух комплексно – сопряженных чисел:

>>z1=3-j*5;z2=3+j*5;

z=z1*z2

z = 34

С помощью функций real и imagможно выделить вещественную и мнимую части комплексного выражения:

>>real(z1)

ans = 3

>>imag(z2)

ans = 5

Комплексное сопряженное число получим, используя апостроф " ' ":

>> z1'

ans = 3.0000 + 5.0000i

ПРИМЕР 19

Формирование матриц специального вида

Функция zeros генерирует матрицу с нулевыми элементами.

>> a=zeros(5) %Формирует матрицу 5х5

a =

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0



>> b=zeros(3,4) % Формирует матрицу c нулевыми элементами

%размерности 3х4 (строки и столбцы)

b =

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Функция ones генерирует матрицу с единичными элементами.

>> c = ones(3,4) %Формирует матрицу размерности 3х4

c =

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

Функция eye генерирует матрицу с единичными диагональными элементами.

>> d = eye(3)

d = 1 0 0

0 1 0

0 0 1

Функция diag(v,k) используется для генерирования диагональных матриц:

>> v=[3 4 5 1];

>>diag(v)

ans =

3 0 0 0

0 4 0 0

0 0 5 0

0 0 0 1

>>diag(v,1) % k=1, получена наддиагональ.

ans =

0 3 0 0 0

0 0 4 0 0

0 0 0 5 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

>>diag(v,-1) % k=1, получена подддиагональ.

ans =

0 0 0 0 0

3 0 0 0 0

0 4 0 0 0

0 0 5 0 0

0 0 0 1 0

В заключение отметим, что примеры (5 ÷17) можно найти в файле sah559.m, предоставляемом пользователям для выполнения лабораторных работ и самостоятельного изучения материала.

Для очистки экрана используется команда " clc ".

Теперь получим решение системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим пример:



Представим систему (1.1) в матричном виде:

А·x = b

где

, , .

Представим систему () в виде илиx = inv(A) * b.

>> A=[7 2 -1;1 3 -1;5 -2 2];

>> b=[8 11 9]';

>> x=inv(A)*b

x = [0.61296.6774 9.6452]’

>>A*x % Проверка:

ans = [8.0000 11.00009.0000]’

ЗАНЯТИЕ № 2

Графические построения

Для построения графика функции y = f (x) необходимо сформировать два вектора одинаковой размерности - вектор значений аргументов (x) и вектор значений функции (y). Для вывода графика функции на экран используется оператор "plot".

Построение графика функции: .

>>x = 0:0.1:6.28;

>> y = sin(x).*exp(-x);

>>plot(x,y)



Рис. График функции y=sin(x).*exp(-x)

Теперь рассмотрим способ построения графиков m- фазной симметричной системы синусоидальных э.д.с.по формуле

ek=Em ·cos⁡(ω·t-(2k-1)·π/m),

где k=1,2,3,…,m; Em- амплитуда фазнойэ.д.с. (в);ω– угловая частота (рад/с); t- время (с), для чего воспользуемся файлом sah743.m:

% sah743.m

% Построение ЭДС многофазных систем (m=3,...,12):

m=12;

e=[];Em=230*sqrt(2); f=50; w=2*pi*f;

for t=0:0.0001:0.02;

k=1:m;

ek=Em*cos(w*t-(2*k-1)*pi/m);

e=[e;ek];

end



Рис. .Пример построения графика функции в программе MATLAB.



Рис. Двенадцатифазная система э.д.с.

e;

t=0:0.0001:0.02;

plot(t,e),grid

Выбор цвета графиков.

Для выбора цвета графика необходимо указать в операторе “plot” символ цветности, в соответствии с таблицей 1.1.

Таблица 1.1

Символы цветности

символ цвета цвет графика символ цвета цвет графика

y желтый g зеленый

m малиновый b синий

c голубой w белый

r красный k черный

>> x1 = 0:0.2:6.28;

>>y1 = sin(x1);

>>y2 = cos(x1);

>>plot (x1,y1,x1,y2,'g'), grid

% графикy2=cos(x1) будетиметьзеленыйцвет.

Стиль линии графика.

По умолчанию предусматривается график в виде сплошной линии, можно также задать:

"-"– сплошная линия,

"- -" – штриховая линия,

":" – двойная пунктирная линия,

"-." – штрих-пунктирная линия.

>> x1 = 0:0.2:6.28;

>> y1 = sin(x1);

>> y2 = cos(x1);

>> y3 = 0.5*cos(x1);

>> y4 = cos(2*x1);

>> plot (x1,y1,x1,y2,'g --',x1,y3,'m :',x1,y4,'b -.'), grid

Способы отображения точек на графике, при использовании оператора "plot", приведены в таблице 1.2.

Таблица 1.2

Символы отображения точек

Тип точки Точка Плюс Звездочка Кружок Квадрат Крестик

Используемыйзнак . + * о s

>>x1 = 0:0.2:6.28;

>> y1 = sin(x1);

>> y2 = cos(x1);

>> y3 = 0.5*cos(x1);

>> y4 = cos(2*x1);

>> plot (x1,y1,x1,y2,'g --',x1,y3,'m : +',x1,y4,'b -. *'), grid

ТРЕХМЕРНАЯ ГРАФИКА

Построение трехмерной поверхности: z(x,y)=x.^2+y.^2.

[x,y]=meshgrid([-3:0.15:3]);

z=x.^2+y.^2;

plot3(x,y,z),grid

Оператор "meshgrid" – формирует узлы двумерной и трехмерной сеток.

[x,y] = meshgrid формирование узлов прямоугольника, задаваемого векторами x и y.



Рис.1.14 Пример построения трехмерной поверхности

Рисунок сохранен средствами программы MATLAB – из графического окна. В меню ФАЙЛ (File) выбираем подменю Экспортировать (Export…), где указываем: место сохранения рисунка, его формат и имя.

Построение линий уровней трехмерных поверхностей:

% z=x*exp(-x.^2-y.^2) в областях: -2=<x<=2, -2=<y<=3;

[x,y]=meshgrid([-2:0.2:2,-2:0.2:3]);

z=x.*exp(-x.^2-y.^2);

%surf(x,y,z

meshc(x,y,z)

Операторы "surf" ("surfc") выводят затененную сетчатую поверхность. Операторы "meshc" ("mesh", "meshz") создают трехмерную сетчатую поверхность.



Рис.1.15 Пример построения трехмерной сетчатой поверхности



Рис.1.16 Пример построения затененной поверхности

Построение затененной поверхности:

[x,y]=meshgrid([-2:0.2:2,-2:0.2:3]);

z=x.*exp(-x.^2-y.^2);

surf(x,y,z)

Построение сферы.

[x,y,z]=sphere(32);

c=z;

surf(x,y,z,c)

%colormap (pink)

colormap (prism)

colorbar



Рис.1.17 Пример построения сферы

colormap (С) - палитра цветов С, например, pink – розовая палитра, prism –палитра с чередованием цветов радуги.

colorbar - шкала палитры.

ЗАНЯТИЕ № 3

Метод наименьших квадратов (МНК)

1.2. Переопределенные системы уравнений.

Метод наименьших квадратов

Переопределенные системы уравнений (1.1) с матрицейA полного ранга часто встречаются на практике, например, при решении геодезических задач на водных путях, нахождении координат расположения судов в открытых акваториях по данным измерений, в процессе обработки результатов измерений деталей машин и механизмов, при управлении качеством продукции в серийном производстве и др. C переопределенными системами уравнений приходится иметь дело в информационно-измерительных и управляющихкомплексах различного назначения, аппаратных средствах автоматизации технологических процессов и т.п.[6].

Поскольку измерения выполняются с погрешностями и математическая модель, как правило, не в полной мере адекватна объекту, переопределенная система позволяет "сгладить" влияние погрешностей на конечный результат. B этом случае принято говорить об оценивании параметров модели по экспериментальным данным, согласно выбранным критериям [13].B простых ситуациях такими критериями могут быть различные нормы матриц и векторов: спектральная норма, l - норма, - норма, эвклидова (сферическая) норма и др.

Среди наиболее широко распространенных методов оценивания следует отметить метод наименьших квадратов [44], [52]. Его популярность объясняется, очевидно, тем, что он может быть применен в любом случае — как при наличии распределения вероятностей наблюдений, так и при их отсутствии. Если уровень помех пренебрежимо мал в сравнении с полезными сигналами, а экспериментальные данные модели, структура которой известна точно, являются информационными, то для линейных уравнений коэффициенты модели оцениваются точно.

B других случаях оценки, полученные при отсутствии распределений методом наименьших квадратов, могут иметь плохие характеристики, но в таких ситуациях ничего лучшего сделать невозможно. При определенном распределении вероятностей (например, нормальном) оценки на основе этого метода могут даже обладать оптимальными статистическими свойствами.

Метод наименьших квадратов используется в задачах "подгонки" статических характеристик.

Рассмотрим линейную стационарную модель системы, содержащую аддитивные составляющие

s = a1y1 + a2 y2 + ...+ an yn+ v, (1.9)

где a1,...,an –постоянные коэффициенты,

y1,...,уn — входные сигналы,

s- выходной сигнал,

v— сигнал помехи (шум измерений).

Предположим, что в процессе работы системы одновременно в фиксированные моменты времени измеряются входные сигналы и сигнал s. Обозначим их значения в моменты t1, t2, ..., tm, соответственно, индексами 1, 2, ..., т. Поскольку все измерения, в соответствии с выбранной моделью, отвечают (1.9), можно составить систему уравнений

s1 = а1y11 + а2у12 + ...+ any1n + v1, (1.10)

s2 = а1y21 + а2у22 + ...+ any2n + v2,

…………………………………

sm = а1ym1 + а2уm2 + ...+ anymn + vm.

Введемвекторы

s = [s1s2 ... sm]T, х = [a, а2 ... an]T, v = [v1 v2 … vm]T.

Из входных данных образуем прямоугольную матрицу H размерности

(т xn)



Тогда (1.10) можно записать в векторно-матричной форме:

(1.11)

Если т >n, то система (1.11), представляющая собой модель измерителя, является переопределенной. Тогда можно найти такие значения элементов вектора x =, при которых разность

(1.12)

точнее — скалярное произведение будет принимать минимальное значение. Задачу минимизации скалярного произведения сформулируем следующим образом: определим вектор , при котором минимизируется критерий качества

(1.13)

Постоянное число 1/2, содержащееся в(1.13) на вектор x* не влияет. Оно введено для удобства вычислений.

Если H в критерии качества (1.13) имеет минимальный ранг, равный n, то минимум J(х) можно найти путем дифференцирования Jпox и приравнивания производной к нулю. Это необходимое условие оптимальности. Достаточным условием минимума функции одной переменной следует считать положительное значение второй производной в экстремальной точке, а для функции нескольких переменных должно выполняться условие Лежандра-Клебша.

Рассмотрим произведение двух вектор-функций:



где 'Т" – знак транспонирования.

Согласно правилам векторного дифференцирования, можно записать



Используя это выражение, приравняем и Тогда необходимое условие оптимальности можно представить следующим образом:

(1.14)

или



Информационная матрица имеет размерность (nxn) и является неособенной, поскольку Hимеет максимальный ранг. Тогда, умножая левую и правую части (1.14) слева на инверсную матрицу , получим наилучшую оценку вектора x

(1.15)

Получив наилучшую оценку вектора , подставим это значение в уравнение (1.11) и определим вектор ум как результат моделирования

(1.16)

Качество моделирования можно оценить по вектору разности между исходными данными sи моделью sм

z= s – sм

Уравнение (1.15) гарантирует получение минимума суммы квадратов элементов вектораz, т.е.

(1.17)

Для оценки эффективности моделирования можно воспользоваться эвклидовой нормой. B среде MatLABсуществует функция "norm(z,'fro')",предназначенная для ее определения. Напомним, что эвклидова норма вектора zпредставляет собой равенство evc = = . Следовательно, критерий качества (1.17) можно записать



Другой подход к получению (1.15) может состоять в следующем. Рассмотрим вновь переопределенную систему, представленную уравнением (1.11). Предположим, что v имеет нормальное распределение, а вектор s состоит из постоянных значений. Тогда Hdx = dvи, следовательно, dvT= dxT = НT.

Для переопределенной системы уравнений справедливо условие т >n . Умножим dvTсправа на вектор v и подставим его значение из уравнения (1.11)

(1.18)

Если теперь ввести критерий оценки вектора x, при котором требуется минимизировать



при отсутствии ограничений, то можно получить

(1.19)

Запишем (1.19) в векторно-матричной форме

(1.20)

Поскольку (1.20) совпадает с (1.18), то равенство указанного скалярного произведения векторов нулю возможно только в том случае, если . Данное условие может быть выполнено, если оценка х, которую ранее мы обозначили как,будет



Мы получили уравнение, точно совпадающее с (1.16). Сумма квадратов погрешностей — скалярное произведение



Теперь умножим левую и правую части (1.11) слева на матрицу размерности (nЧm).Заметим, что и поэтому



где - вектор погрешности, представляющий разность между оценочным

истинным значениями вектора параметров.

Предполагая, что H и v независимы, мы получим среднее значение, равное нулю

(1.21)

Уравнение (1.21) подтверждает несмещенность оценки.

Уравнение (1.15) может быть использовано для оценки коэффициентов нелинейных функций, которые путем замены переменных приводятся к выражениям, линейным относительно неизвестных параметров.

Заметим, что использование функций для оценки параметров исходных зависимостей позволяет получить минимум суммы квадратов для преобразованных функций. Для исходных уравнений, являющихся нелинейными, применение нелинейных методов оценивания позволяет получить меньшее (в сравнении с MНK) значение эвклидовой нормы. Оценка же параметров функции Z позволяет лишь приблизиться к наилучшей оценке y.

1.3. Оценка параметров периодических сигналов

по экспериментальным данным

При малом уровне помех метод наименьших квадратов может эффективно использоваться для разложения периодических функций в ряд Фурье, а также для оценивания коэффициентов ортогональных полиномов и различных ортогональных функций, в частности, полиномов Чебышева, Лежандра и др.

Ряды Фурье широко используются в настоящее время для решения важных практических задач. Например, в электроэнергетических системах наиболее эффективно передавать энергию при номинальных значениях частоты и напряжения. Однако в реальных условиях в энергосистемах возникают искажения синусоидальной формы кривых тока и напряжения. Поэтому необходимо отклонения форм кривых тока и напряжения от правильной синусоидальной формы оценивать по гармоническим составляющим периодических сигналов.

Предположим, что в процессе обработки периодического сигнала получены значения напряжения через каждые 15° в контрольных точках. Измерения произведены с точностью, определяемой лишь одним знаком после запятой. Полученные данные в интервале изменения угла alf= 0°180° сведены в таблицу 1.2, содержащую 13 экспериментальныхточек.

Таблица 1.2.

аlf(i)

(град) 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180

u(i)(B) 12.7 33.8 52.0 60.9 57.8 45.7 31.1 20.1 15.6 15.1 13.0 4.2 -12.7

B первой строке таблицы приведен угол alf(i) (в градусах), во второй - напряжение u(i) (в вольтах), i = 0, . . . , 12 .

Требуется по данным таблицы 1.2. определить амплитуды и фазы первых трех гармони периодического сигнала

(1.22)

где 0 - частота первой гармоники.

Таким образом, требуется оценить амплитуды и фазы

U1m , Q1 ,

U2m , Q2 ,

U3m , Q3 .

Разделив период Tна 24 равных интервала, мы получим . Так как , то каждому будет соответствовать угол (в градусах).

.

Для нахождения угла в i-ой точке, где i= 024, можно воспользоваться простым соотношением

i = 0, …, 12,

на основании которого заполнена первая строка таблицы 1.2.

Из данных второй строки образуем вектор выхода

y1 = [12.7 33.8 52.0 … 4.2 -12.7]T

размерности (13Ч1).

Чтобы придать уравнению (1.22) вид модели (1.19), воспользуемся тождественным преобразованием

(1.23)





Введем обозначения







Эти величины в уравнении (1.23) являются постоянными. u(0t) является скалярной величиной. Она может быть получена в виде произведения двух векторов: вектор-строки

[sin0tcos0tsin 20tcos20tsin 30tcos30t]

и вектор-столбца х, образованного из элементов

x = [x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6)]T , т.е

u(0 t) =[sin0 t cos 0 t sin 20 t cos20 t sin 30 t cos30 t]

Вектор x является искомым вектором, содержащим шесть неизвестных коэффициентов. Для их оценивания, согласно (1.10), требуется составить число уравнений т > 6. Мы выбрали т = 13 и привели эти данные в таблице 1.2.

C помощью вектор-строки приведенного выше уравнения сформируем матрицу Hразмерности (13Ч6), где каждая i-ая строка должна содержать значения элементов, соответствующие углу alf(i), приведенному в i- ой ячейке первой строки таблицы. B среде MatLABэта операция выполняется в режиме прямых вычислений

alf=0:15:180;

bet = alf.*(pi/180);

H = [sin(bet)' cos(bet)' sin(2*bet)' cos(2*bet)'

sin(3*bet)' cos(3*bet)']

H =

01.000001.000001.0000

0.25880.96590.50000.86600.70710.7071

0.50000.86600.86600.50001.00000.0000

0.70710.70711.00000.00000.7071 -0.7071

0.86600.50000.8660 -0.50000.0000 -1.0000

0.96590.25880.5000 -0.8660 -0.7071 -0.7071

1.00000.00000.0000 -1.0000 -1.00000.0000

0.9659 -0.2588 -0.5000 -0.8660 -0.70710.7071

0.8660 -0.5000 -0.8660 -0.5000 0.00001.0000

0.7071 -0.7071 -1.00000.00000.70710.7071

0.5000 -0.8660 -0.86600.50001.00000.0000

0.2588 -0.9659 -0.50000.86600.7071 -0.7071

0.0000 -1.0000 0.00001.00000.0000 -1.0000

>>

Можно убедиться, что H имеет полный ранг: rank(Н)=6. Поэтому существует ее обратная матрица . Следовательно, для оценки x можно использовать уравнение (1.15).



Используя выражения для x(l)и x(2), определим амплитуду первой гармоники U1mи фазу Q1



Угол Q1(в градусах) найдем с помощью уравнения



Аналогично определим U2m, Q2, U3mи Q3



Следовательно, напряжение u(0t), в соответствии с (1.22), может быть записано с помощью уравнения

(1.24)



при условии, что 0t имеет размерность "градусы".

B полученном уравнении (1.24) амплитуда напряжения первой гармоники более чем на два порядка превышает амплитуду второй гармоники. Поэтому при выполнении инженерных расчетов второй гармоникой можно пренебречь, а в величинах аргументов первой и третьей гармоник - учесть лишь десятые доли градуса. Тогда получим

(1.25)

Все приведенные выше расчеты в среде MaiLABмогут быть выполнены в режиме прямых вычислений, без составления машинных программ. B случае автоматизации вычислительного процесса необходимо иметь в виду, что в составе вектора x* могут быть элементы равные нулю. Если, например, (3)и (4)равны нулю, то при получении U2m=0 из цикладолжна исключаться операция расчета Q2, поскольку будет представлять собой неопределенность типа 0/0, и последующие вычисления на ПЭВМ прекратятся.

Чтобы оценить погрешность вычислений, вызванную ограничением разрядов чисел, содержащихся во второй строке таблицы 1.2, возвратимся к уравнению (1.26) — модели процесса, которая в действительности использована для получения экспериментальных данных и составления таблицы:

(1.26)

Видно, что вторая гармоника в составе сигнала отсутствовала. Повысим точность измерений и представим вектор уследующими данными:

y = [l2.6937 33.7823 52.0270 60.8661 57.8116 45.7234 ...

31.0608 20.1415 15.5952 15.0802 12.9958 4.1658 -12.6937]Т

B этом случае у условно можно считать вектором детерминированных сигналов.

Чтобы убедиться практически в отсутствии шума в элементах у, оценим вновь искомые величины с помощью метода наименьших квадратов. B результате получим

(1.27)

Используя элементы вектора-столбца (1.27) для оценки амплитуд и фаз гармоник, будем иметь



Таким образом, оценочные значения практически совпадают с принятыми исходными данными.

Теперь определим вектор шума z, представляющий собой разность между у и у1:

z = y – y1 = [-0.0063 -0.0177 0.0270 -0.0339 0.0116 0.0234 ...

-0.0392 0.0415 -0.0048 -0.0198 -0.0042 -0.0342 0.0063]T

Для оценки zиспользуем критерий (1.13)



Аналогичный результат получим, если воспользуемся эвклидовой нормой согласно правилу (1.18). Вычисления в среде MatLABвыполним с помощью оператора



Заметим, что полученные величины Jне характеризуют "качество" моделирования. Адекватность модели и объекта, представленного вектором y1, может быть установлена по вектору z1, где

z1 = y1 – yм= [-0.0056 0.0166 -0.0271 0.0309 -0.0150 -0.0223 ...

0.0462 -0.0330 0.0660 0.0091 -0.0166 0.0153 -0.0061]Т

Вектор ум, в свою очередь, следует восстановить, используя матрицу H и вектор наилучшей оценки

yм= = [l2.7056 33.7834 52.0271 60.8691 57.8150 45.7223 ...

31.0538 20.1330 15.5934 15.0909 13.0166 4.1847 -12.6939]T

Примеры оценки параметров моделей с помощью МНК

% sah548.m

% Простейшие вычисления в среде MATLAB.

% -1-

% На пружинные весы поочередно устанавливается груз массой x (г).

% Измеряется сжатие пружины в виде данных вектора y (мм).

x=0:100:800;

y=[0 0.09 0.18 0.28 0.37 0.46 0.55 0.65 0.74];

% Оценить параметры модели y=f(x)=b+a*x методом наименьших квадратов.

% Найти вектор погрешностей измерений.Построить график.

H=[ones(9,1) x'];

d=inv(H'*H)*H'*y'

ym=H*d;

[y' ym]

eps=y'-ym;

plot(x,y,'.',x,ym),grid

% -2-

% Применение функций polyfit и polyval для оценки коэффициентов полиномов.

x1=0:0.1:3;

k=size(x1);

y1=2*x1.^3-0.25*x1.^2+1.2*x1-4;

p1=polyfit(x1,y1,1)

p2=polyfit(x1,y1,2)

p3=polyfit(x1,y1,3)

p4=polyfit(x1,y1,4)

z1=polyval(p1,x1);

z2=polyval(p2,x1);

z3=polyval(p3,x1);

plot(x1,y1,x1,z1,x1,z2,x1,z3,'.'),grid

% Решение этой же задачи с помощью МНК:

H1=[x1.^3;x1.^2;x1;ones(1,k(2))]';

d1=inv(H1'*H1)*H1'*y1'

% Сравнение коэффициентов полинома:

[d1 p3']

хххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

% Файл sah525.m

% См. также файл sah444d.m

% Метод наименьших квадратов и нормальное распределение

% для простой линейной модели: y=a+b*x+eps. В моделях

% множественной регрессии используются ортогональные

% преобразования ( см.файл sah526.m).

x=0:0.1:10;

% Используем модель y=a+b*x+eps,где a=2,b=3, eps-сигнал помехи

% с нормальным распределением.

y1=2+3*x';

y=y1+0.2*randn(101,1);

% Оценка коэффициентов с помощью МНК:

H=[ones(101,1) x'];

a=H\y

ym=H*a;

[y ym]

%===========================================================

% Оценка коэффициентов с помощью ковариационной матрицы

% и дисперсии:

Z=cov(x,y,0)/cov(x,0)

Z1=cov(x,y,1)/cov(x,1)

% "Вырезка" коэффициента b=b1 и b=b2 из матриц Z и Z1:

b1=Z(1,2);

b2=Z1(1,2);

[b1 b2 a(2)]

% Оценка коэффициента am=a(1) модели:

am=(mean(y)-b1*mean(x));

[am a(1)]

%=======================================================

% Оценка минимума критения качества:

% Вектор погрешности моделирования:

epsil1=y-ym;

% Критерий качества:

J=1/2*epsil1'*epsil1

% Эвклидова норма и ее связь с критерием качества:

J1=norm(epsil1)

J2=1/2*J1^2;

% Убеждаемся, что норма J1 ,возведенная в квадрат и поделенная по-

% полам, численно совпадает с критерием оптимальности J:

[J J2]

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх



Простой файл для оценки параметров модели расходной характеристики

% sah1a.m

% G=f(v)

v=10:2:16;

G=0.03*v.^3.0;

[v;G]

y=log(G);

H=[ones(4,1) log(v')]

x=H\y'

Xm=[exp(x(1));x(2)]

v1=10:0.1:16;

G1=Xm(1)*v1.^Xm(2);

plot(v1,G1,v,G,'*'),grid

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

Применениеполиномовдляаппроксимациихарактеристик

на основе МНК



%sah2.m

% Polynoms:

x=0:0.5:5;

Y=[];P=[];ERR=[];

for n=1:4;

y=4*x.^3+2*x.^2-7*x-5.5;

p=polyfit(x,y,n)

%[p,S] = polyfit(x,y,n)

%[p,S,mu] = polyfit(x,y,n)

%==================================

ym = polyval(p,x);

Y=[Y;ym];

%[y,delta] = polyval(p,x,S)

%y = polyval(p,x,[],mu)

%[y,delta] = polyval(p,x,S,mu)

err=y-ym;

ERR=[ERR; err];

end

Y

ERR

plot(x,y,'*',x,Y),grid

хххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

% Файл 'sah448.m'

% Аппроксимациярасходныххарактеристиксудовпо

% экспериментальнымданным.

% Gi - часовой расход топлива на -ом участке пути.

% v(i)-скорость судна на -ом участке пути.

%=====================================

% Для преподавателя:

v1=0:0.1:18;

k1=0.03;

G1=k1*v1.^3;

%=====================================

v2=0:0.1:15.5;

k2=0.035;

G2=k2*v2.^3.1;

%=====================================

v3=0:0.1:13.8;

k3=0.038;

G3=k3*v3.^3.2;

%======================================

v4=0:0.1:11.6;

k4=0.04;

G4=k4*v4.^3.4;

%======================================

% Ограничительная характеристика:

S=[18 15.5 13.8 11.6;174.96 171.4337 168.8094 166.4245];

Z1=S(1,:); Z2=S(2,:);

% Аппроксимация заградительной характеристики полиномом:

Pg=polyfit(S(1,:),S(2,:),3);

Gg=polyval(Pg,S(1,:));

% Вектор оптимальных режимов при заданном времени хода

% судна 14.2 ч.:

SA=[146.5011 139.5249 133.1828 122.0842;

16.9658 14.5037 12.8147 10.5897];

plot(v1,G1,v2,G2,v3,G3,v4,G4,S(1,:),S(2,:),S(1,:),Gg,'*',...

SA(2,:),SA(1,:),'o'),grid

pause

%==========================================

%==========================================

% ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТОВ

% Для студентов приводятся экспериментальные данные,

% покоторым следует найти оценки коэффициентов

% моделейG(i)=f(v(i)):

vG1=[0 10 11 12 13 14 15 16 17 18;

0 30 39.93 51.84 65.91 82.32 ...

101.25 122.88 147.39 174.96]

vG2=[0 10 11 12 13 14 15 15.5;

0 44.0624 59.2087 77.5407 99.3785 ...

125.0446 154.8642 171.4337]

vG3=[0 10 11 12 13 13.8;

0 60.2259 81.7034 107.9353 139.4448 168.8094]

vG4=[0 10 10.5 11 11.5 11.6;

0 100.4755 118.6052 138.9297 161.5968 166.4245]

% Решение:

d1=size(vG1);

H1=[ones([d1(2)-1,1]) log(vG1(1,2:10)')];

y1=log(vG1(2,2:10)');

x1=inv(H1'*H1)*H1'*y1;

P1=[exp(x1(1));x1(2)]

%.........................................

d2=size(vG2);

H2=[ones([d2(2)-1,1]) log(vG2(1,2:8)')];

y2=log(vG2(2,2:8)');

x2=inv(H2'*H2)*H2'*y2;

P2=[exp(x2(1));x2(2)]

%...........................................

d3=size(vG3);

H3=[ones([d3(2)-1,1]) log(vG3(1,2:6)')];

y3=log(vG3(2,2:6)');

x3=inv(H3'*H3)*H3'*y3;

P3=[exp(x3(1));x3(2)]

%............................................

d4=size(vG4);

H4=[ones([d4(2)-1,1]) log(vG4(1,2:6)')];

y4=log(vG4(2,2:6)');

x4=inv(H4'*H4)*H4'*y4;

P4=[exp(x4(1));x4(2)]

% По полученным значениям Р1,Р2,Р3 и Р4 построить

% графики расходных характеристик с шагом дискретности

% 0.1 для скорости v, используя формулы

% Gi=Pi(1)*v.^Pi(2), где i=1,2.3.4.

% По контрольным точкам нанести ограничительную характериситку.

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

ЗАНЯТИЕ № 4

Теорема Гозинта и балансовые модели

Концепция построения моделей для принятия решений в определенной предметной области предусматривает использование математического аппарата, адекватного проводимым исследованиям, с разработкой соответствующей алгоритмической части, программной системы. Предполагается, что модельная часть должна с заданной точностью отражать процессы и сведения об объекте и предмете моделирования.Тогда принятые решения будут получены на основе строгих математических методов, в соответствии с постановкой и спецификой конкретной задачи исследований. Важной проблемой при построении моделей технологических процессов является выбор формального аппарата для описания процессов принятия решений и построение на его основе модели принятия решений, адекватной и семантически корректной проблемной области. В качестве такого аппарата обычно используют продукционные системы [2]. При этом основные исследования ведутся в контексте алгоритмической (детерминированной) трактовки продукционной системы с присущей ей последовательной схемой поиска решения. Очевидно, в процессе моделирования могут встречаться случаи, когда различные по назначению продукционные системы могут в своей основе базироваться на одних и тех же математических моделях. Такие модели можно считать универсальными в том смысле, что они могут быть пригодны для определенного класса продукционных систем. Остановимся кратко на рассмотрении систем, где для принятия решений используются балансовые модели, базирующиеся на матричном уравнении

x-Ax=y. (1)

Предположим, что A – неотрицательная продуктивнаяквадратная (n𝗑n)-матрица, причем такая, что существует

B=(I -A)-1 . (2)

Тогда возможны прямое и обратное преобразования при неотрицательных значениях векторовxиy, еслиI- единичная матрица. В балансовых моделях для обеспечения неотрицательностиx и y матрица A>0 должна отвечать условиям продуктивности. Тогда неотрицательная обратимость (2) может быть получена при условии, что собственные числа 𝜆матрицы A должны быть меньше единицы:

λ(A)<1.При этом условии матричный ряд

I+A + A2+A3+…=k=0∞Ak=(I-A)-1 (3)

сходится. В балансовых моделях обозначения, используемые в формулах (1) ÷ (3), имеют следующий физический смысл:

A- матрица коэффициентов прямых потребностей (нормативная матрица материалоемкости или сборочная матрица),

B– матрица коэффициентов полных потребностей (матрица преобразования вектора y в вектор x),x- вектор валовой продукции ( число деталей и узлов, необходимое для выполнения сборки у ремонтируемых агрегатов),

y – вектор конечной продукции (число полностью отремонтированных агрегатов, готовых к отгрузке потребителю).

Балансовые модели (1)÷(2) пригодны для составления производственных программ при кратковременном планировании на предприятиях отрасли. На их базе можно получать в технических системах количественные оценки для обоснованного принятия решений и выбирать наиболее подходящие варианты из допустимого их множества при поддержании заданных балансовых соотношений между входами и выходами.

С корректировкой планов и адаптацией их к конкретным ситуационным изменениям, происходящим в условиях рынка, связано выполнение сборочных работ на судоремонтных предприятиях.Адаптациянеобходима для сохранения и развития бизнеса предприятия при изменении внешних условий. С ними связаны изменения сроков поставки готовых изделий для ремонта машин и механизмов, номенклатуры изделий и др. Гибкость планирования производства с учетом внешних условий на основе простых математических моделей, адекватных процессу и доступных пользователю, следует считать основным условием совершенствования судоремонтного производства на водном транспорте. При гибком планировании становятся актуальными вопросы, связанные с расчетом потребных материалов, деталей и узлов для выпуска конечной продукции в требуемых объемах.

Технологические приемы расчета количества и номенклатуры деталей и узлов для выполнения конкретной программы сборочных работ удобнореализовать посредством балансовой модели (1), отвечающей условиям теоремы Гозинта. Следует отметить, что в теореме сформулирована балансовая задача, в которой элементы векторов x иyпринимают целочисленные значения.Применительно к сборочным работам теорема фактически устанавливает соотношениямежду матрицей Aкоэффициентов прямых потребностей в узлах и деталях и матрицей Bполных коэффициентов потребностей, определяемых формулой (2). Топологические свойства матрицы Aпри планировании сборочных работ определяются диаграммами Гозинта, в которых устанавливается потребность в деталях и сборочных узлах на каждой технологической операции [3].В структуре сборочной матрицы, формируемой по диаграмме Гозинта, отражена специфика изготовления (сборки агрегатов и узлов) выпускаемой продукции и последовательность выполнения технологических операций.

Согласно диаграммам, по формуле (1) рассчитывается количество одних узлов и деталей для изготовления других, а также для изготовления конечной продукции (отремонтированных и собранных агрегатов). Если требуется полностью собрать (изготовить)y агрегатов для заказчика с обеспечением их запасными деталями и узлами, то вектор xпотребностей в изделиях для заданной программы выпуска продукции следует находить по формуле (2).

Таким образом, простые матричные уравнения (1) и (2) дают исчерпывающий ответ на вопрос, как можно определить количество узлов и деталей, требуемых для выполнения соответствующей программы сборочных работ по выпускуагрегатов и отгрузке продукции в течение планируемого периода.В терминах балансовых моделей с помощью уравнений (1) и (2) фактически решается балансовая задача планирования объемов x валовой продукции, необходимых для обеспечения выпуска конечной продукцииy.

Решение инверсной балансовой задачи состоит в оценке элементов матриц в уравнениях (1) и (2) по группе векторов входа и выхода, из которых составляются прямоугольные матрицы X и Y:

X=x11x12⋮x1,n-1x1,nx21x22⋮x2,n-1x2,n⋯xm,1⋯xm,2⋮⋯⋯⋮xm,n-1xm,n≥0,

Y=y11y12⋮y1,n-1yx1,ny21y 22⋮y2,n-1y2,n⋯ym,1⋯ym,2⋮⋯⋯⋮ym,n-1ym,n≥0.

Предполагается, что m≤n. МатрицыXиYимеютполныйранг:

rank (X)= rank Y=m.Тогда оценку можно выполнить по формуле

A= I-Y·YT·( X·YT)-1, (4)

где A- (m𝗑m) – матрица.

Применение балансовых моделей рассмотрим на примере диаграммы сборки агрегатов С1 ,С2 и С3.



Рис. 1. Диаграмма сборки агрегатов: С1, С2 , С3 – сборочные агрегаты;

Y1÷Y4 – сборочные узлы; D1 ÷D7 – детали для сборки узлов и агрегатов

Диаграмму Гозинта, изображенную на рис.1, представим сборочной матрицейA(матрицей прямых потребностей). Размерность матрицы соответствует числу элементов, изображенных на диаграмме. На диаграмме также указано число деталей, необходимых для сборки и изготовления одной единицы того элемента, к которому подходят стрелки. Эти числа внесены в матрицу по строкам и столбцам в следующем порядке:

Таблица 1.

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Элемент С1 С2 С3 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7

A=000000000000000000000000000000020100300000001220000100000021010000000000000450000000021000024000000000130000000000000320000002000003350000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.

Нетрудно видеть, что максимальное собственное число матрицы A

λA=0.6348·10-5,что свидетельствует о возможности неотрицательной обратимости матрицы B. МатрицаB вычисляется, согласно уравнению (2). В результате устанавливается прямая и обратная связь вектора плана сборки агрегатов (выпуска продукции) yс числом потребных для этих целей деталей и узлов, представляемых векторомx:

x=B·y . (5)

В таблице 2 приведены численные значения сборочных деталей x для двух планов y. Последовательность обозначений элементов (агрегатов, узлов и деталей) диаграммы (рис.1) соответствует принятой в таблице 1 (первая строка таблицы 2). По первому плану предполагается сборка агрегатов y: C1=7 , C2=3 и C3=11. Вычисления, выполненные по формуле (5) для их сборки, представлены в строкеx .

Таблица 2.

Элемент С1 С2 С3 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7

Первый план

y 7 3 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x 7 3 11 17 28 80 50 11 89 165 243 206 245 33 55

Второй план

y 8 6 4 3 0 5 6 0 0 0 0 0 20 0 0

x 8 6 4 25 20 69 34 4 124 194 213 142 180 12 20

B=100 000000000000010 000000000000020100111130000012620411191012001025410515161935010000450000000121002656000001000130000000010000320000002100067350000001000000000000010000000000000100000000000001000000000000010000000000000100000000000001Во втором плане, кроме выпуска агрегатов C1=8, C2=6 и C3=4, в строке yприведены ненулевые значения Y1=3, Y3=5, Y4=6 и D5=20. Эти элементы можно считать дополнением к основному плану в качестве запасных деталей, поставляемых по желанию заказчика одновременно с агрегатами.

Принцип суперпозиции позволяет планировать сборочный процесс раздельно для каждого вида конечной продукции с различным временем представления заказчику. Тогда сборочный процесс может анализироваться с учетом затрат времени на выполнение отдельных операций производственного цикла, решаться комплекс задач о загрузке оборудования, совершенствоваться технологические операции сборки механизмов на балансовых дискретно –динамических моделях.

Балансовые модели (1)÷(4) также нашли применение в экономике. Традиционно их используют для определения способов анализа, необходимых для решения проблем взаимных связей при межотраслевых взаимодействиях и установления количественных соотношений макропеременных с отраслевыми переменными микроуровня в процессе производства. Эта задача решается с помощью модели межотраслевого баланса В. Леонтьева. Связи между отраслями в модели устанавливаются с помощью статистических таблиц, называемых «межотраслевыми» и отражающих картину народнохозяйственной динамики за определенный период (как правило, 1 год). Таблицы межотраслевого баланса позволяют анализировать структуру потоков ресурсов [1]. В них отражена структура затрат (используемых ресурсов), необходимых для каждой отрасли, а также представлено распределение каждого вида продукции [2]. С помощью таблиц также устанавливаются балансовые соотношения для выпуска продукции и расходов отрасли.

В модели В. Леонтьева допускается для каждой отрасли существование производственной функции с неизменным эффектом масштаба (затраты прямо пропорциональны выпуску) и с отсутствием взаимозаменяемости ресурсов. Существует несколько вариантов базовой модели межотраслевого баланса. Модель межотраслевого баланса обычно представляется матричным уравнением вида (1), где каждый i–ый элемент вектора x есть объем выпуска отрасли xi. Продуктивная неотрицательная квадратная матрица Aразмерности (nn) является матрицей коэффициентов прямых затрат; y- вектор конечного спроса размерности (n1)., состоящий из положительных элементов. Если из вектора yв уравнении (1) выделить вектор импорта, то может быть получен вариант модели конкурентно – импортного типа, наиболее часто используемый в Японии. В отличие от балансовых моделей Гозинта, в моделях «затраты - выпуск» В. Леонтьева элементы xi могут быть сгенерированы с помощью наиболее подходящих производственных функций, например, функции Кобба – Дугласа, либо CES- функции и др. С этой целью соответствующая модель производственной функции должна «встраиваться» в модель В. Леонтьева.

Наиболее трудоемкой частью анализа межотраслевых связей является получение коэффициентов прямых затрат aijили элементов матрицы A. В условиях рыночных процессов ценообразования и изменяющихся макроэкономических показателей элементы матрицы коэффициентов прямых затрат Aтакже подвержены значительным изменениям. Поэтому для нестационарных режимов функционирования экономических систем целесообразно использовать методы оценки коэффициентов прямых затрат по обобщенным показателям. Таковыми, в частности, могут быть матрицы Xи Y, составленные из векторов xи y в результате многократных измерений. Для минимизации ошибки оценки коэффициентов эти матрицы должны быть прямоугольными, полного ранга, размерности (nm),где m>n.

В качестве примера рассмотрим задачу оценки матрицы коэффициентов прямых затрат по формуле (4) семи отраслей японской экономики по данным, приведенным в работе [1 , с.168-171]. Секторами экономики являются:

1. Сельское, лесное и рыбное хозяйство.

2. Тяжелая промышленность.

3. Легкая промышленность.

4. Строительство.

5. Энергетика.

6. Транспорт и связь.

7. Услуги.

Согласно [1],исходные данные по семи отраслям японской экономики получены путем агрегирования официально опубликованного 43-отраслевого баланса и проведения последующих расчетов коэффициентов прямых затрат. В результате получена матрица A:



В каждом столбце матрицы конечного спроса YT размерности (11 7 ) содержатся базовые значения величин конечного спроса, соответствующие приведенному выше перечню секторов экономики (ед. измерения – млрд. иен). Нумерация секторов соответствует нумерации столбцов.



В формуле (4) содержится матрица базовых значений объемов выпуска X , которую вычислим с помощью (5) для одиннадцати векторов y. Теперь решим инверсную задачу В. Леонтьева: по известным Y иX произведем оценку матрицы коэффициентов прямых затрат A. Врезультатеполучим оценку, идентичную исходной матрице A, т.е.

A= I-Y·YT·( X·YT)-1=A,что подтверждает корректность выполненных решений. В нестационарных условиях оценочные значения не будут совпадать с исходными, и поэтому

A≠A.Вместе с тем,при наличии случайной составляющей в измерениях,Aбудет представлять наилучшую оценку, при которой обеспечивается минимум суммарной квадратичной ошибки модельных значений XМ иизмерений X, где XМ=A·Yиℰ= [XМ – X]. Критерием является

Jмин=12ET·E.В работе показано, что балансовые модели применимы для решения задач в различных сферах производственной деятельности и, в частности, в технических и экономических системах. Математическая интерпретация, структура и требования к модели остаются неизменными и практически в изложенной постановке слабо зависят от предметной области исследований. По сути, балансовые моделиопределяют механизм совершенствования существующего информационного обеспечения и программных средств автоматизированных систем управления производственными процессами на различных иерархических уровнях. Учет времени выполнения сборочных операций и моделирование технологических процессов с применением современных вычислительных сред существенно расширит класс решаемых задач, позволит на качественно новом уровне управлять производством, принимать обоснованные технические решения, многократно проверенные и отобранные на математических моделях с учетом воздействия многочисленных внешних факторов.

ЗАНЯТИЕ № 5

Матрицы в строительной механике

% sah571.m

% ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАТРИЦ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

% СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

% Матрицы влияния внутренних усилий в статически

% определимых балках

L=10; n=5; d=L/n;

% Сформировать вектор-столбец сил, приложенных в точках Y, за

% исключением первой и последней точек- точек опор:

P=[-8 3 -2 9]'

%P=[25 -30 10 15]' % Вектор для n=5.

%P=[0 25 0 -30 0 10 0 15 0]' % Вектор для n=10.

F1=[];

% Формирование матрицы влияния

for i=1:n-1

F=[];

for k=1:n-1;

if k<=i

f=k*(n-i);

elseif k>i

f=i*(n-k);

end

F=[F f];

end

F1=[F1;F];

end

F1;

A=F1.*(d/n);

%P=[5 0 15 5]';

%P=[25 -30 10 15]';

M=A*P

%M =

% 18.0000

% -14.0000

% 14.0000

% 22.0000

Ma=[0 M' 0]

i=0:n;

plot(i,-Ma,i,i*0),grid

axis([0 n -100 30])

% Заданиецвета:red (красный),yellow(желтый),green(зеленый),cyan(голубой)

%,blue(синий), magenta (фиолетовый)

% Создание графического объекта 'patch' и нанесение тени:

patch(i,-Ma,'g')

% Решение обратной задачи: определение вектора сил по моментам в точках

% их приложения:

Po=inv(A)*M

pause

%===============================================

% К вопросу о матрицах влияния.

% Построение эпюры моментов для единичной силы,

% приложенной в точке x.

L=45;

%L=10;

x=18; % Отсчет слева.

%x=8;

% Реакции опор при единичной силе:

Ta=(L-x)/L; Tb=x/L;

% Момент в точке x:

Mx=Ta*x;

% Построение эпюры моментов:

k=90;

%k=5

delt=L/k;

Mi=[];

for i=0:delt:L

if i<=x

mi=Ta*i;

Mi=[Mi mi];

else

mi=Ta*i-1*(i-x);

Mi=[Mi mi];

end

Mi;

end

Mi

% Построение графика:

i=0:delt:L;

plot(i,Mi),grid

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

ЗАНЯТИЕ № 6

Статистический анализ. Управление качеством продукцииМатематико-статистические методы обработки результатов измерений.

Простой перечень полученных в процессе измерений той или иной переменной значений ещё не отражает результатов оценки. Для повышения качества оценки обычно определяют среднее значение, а также – отклонения каждого измерения от среднего.

Рассмотрим ряд с малым числом измерений. Предположим, что в результате измерений уровня воды в реке на вход измерительной системы поступили следующие данные (измерения произведены через каждые два часа):

177 174 178 176 175 175 173 171 167 177.

Вычисление среднего значения и медианы:

x = [x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10]

сумма элементов вектора

z = sum(x) = 1743;

среднее значение



y = mean (x) = 174.3

Условная средняя.

Если значения хi велики, то вычисления можно упростить, введя условную среднюю, которую обозначим через . Выберем =174. Тогда



y1 = 1740 + (0.1)*sum (x - (ones (1,10))*174) = 174.3000

Можно составить таблицу для значений в отклонениях :

x 177 174 178 176 175 175 173 171 167 177

x - (ones (1,10))*174 3 0 4 2 1 1 -1 -3 -7 3

Медиана.

Расположим полученные при измерениях значения в возрастающем или убывающем порядке. Тогда медианой будет значение, занимающее срединное положение в ряду.

При чётном числе измерений медианой является среднее арифметическое двух значений, расположенных в середине ряда.

х1 = [167 171 173 174 175 175 176 177 177 178]

y3 = median (x1) = 175

В MatLAB оператор sort (x) располагает элементы каждого столбца х в возрастающем порядке.

[x2, I]

[x2, I] = sort (x) – возвращает ещё матрицу I, содержащую индексы, соответствующие элементам при сортировке:

[x2, I] = sort (x)

8 элементов

х2 = 167 171 173 174 175 175 176 177 177 178

174.5

I = 9 8 7 2 5 6 4 1 10 3

Медиана для первых 8 значений вектора (для вырезки из 8 элементов упорядоченного вектора):

у4 = median (x2(1:8)) = 174.5

Для вырезки из 7 элементов:

у5 = median (x2(1:7)) = 174

Оценка дисперсии и размаха.

Другая статистическая характеристика ряда наблюдаемых значений показывает, как тесно группируются отдельные значения вокруг средней арифметической или как они рассеиваются вокруг этой средней.

Поскольку алгебраическая сумма отклонений отдельных значений хi от средней арифметической равна нулю, алгебраическая сумма не пригодна в качестве меры рассеяния.

За меру рассеяния принимают сумму квадратов отклонений отдельных значений от средней арифметической, делённую на количество наблюдений. Эту меру называют дисперсией и обозначают через s2:



Заметим, что





Так как , то



(3.1)

Эту формулу особенно удобно использовать для вычисления дисперсии. Вычислим дисперсию с помощью (3.1)

= 0.1*sum (x.^2) – (mean(x))^2

= 9.8100

Среднее квадратическое отклонение



Размах.

Иногда при обработке результатов измерений используется мера рассеяния – размах , то есть разность между наибольшим и наименьшим значениями числового ряда.

= max (x) – min (x) = 11;

max (x) = 178,

min (x) = 167,

[max (x) min (x)] = 178 167

Коэффициент вариации.

Отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах, представляет собой коэффициент вариации :



Будучи безразмерным, удобен для сравнений. Коэффициент вариации характеризует относительное колебание отдельных значений около средней арифметической.

3.1.Ряды с большим числом наблюдений.y = [x1 … … x10]: size (y) = 1 .. 160

z = sort (y)

z = [159 160 161 … … 189 190 191]

Ряд измерений малого объёма хорошо «просматривается». При большом числе измерений следует:

Расположить результаты измерений в порядке их возрастания.

Сформировать упорядоченный ряд наблюдений, для чего:

По базе z(160) – z(1) образовать базу признака.

Получить ряд частот, соответствующих каждому признаку.

Как получить ряд частот?

D = [ ]; %Ряд частот с другим интервалом(базой признака)

forN = 159:1:190; %Выбор интервала в базе признака

f = z > (N-1) & z <=N;

v = sum (f);

D = [D v];

end

D

sum (D)=160

Построить полигон частот по результатам 160 измерений.

Вычисление средней арифметической и дисперсии рядов с большим числом измерений.

Средняя арифметическая.



N = [159 160 … … 190]size (N) = 32

n = sum (D) = 160size (D) = 32



Дисперсия.

, - частота, n = 160

V = [N – (ones (1,32).*ss)].^2

sd = (1/160)*V*D’=39.9231;

s = sqrt (sd) = 6.3185

хххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

Нормальное распределение.На практике часто приходится иметь дело с распределениями, которые несущественно отличаются от нормального или, как его ещё называют, распределением Гаусса.

Его свойства:

Кривая симметрична, имеет форму колокола и асимптотически приближается к оси абсцисс.

Вершина кривой нормального распределения лежит над абсциссой, соответствующей математическому ожиданию

Колоколообразная кривая имеет две точки перегиба, расстояние от которых до ординаты вершины, т.е. до вертикали, проведённой через математическое ожидание, равно среднему квадратическому отклонению. Расстояние между двумя точками перегиба равно . Таким образом, среднеквадратическое отклонение можно представить наглядно.

С увеличением кривая становится более пологой.

Плотность нормального распределения выражается функцией:

, где е = 2.71828; = 3.14159; и - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

6. и - параметры нормального распределения. Они постоянны для определённого распределения.



Рис. 3.5. Кривая нормального распределения.

При вычислениях формулу плотности нормального распределения используют в несколько ином варианте, заменив переменную на . Найдём

; .

Выделим функцию:

Принимая во внимание ширину интервала , получим:

, где - плотность нормированного нормального распределения с математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением , т.к. при и при имеем .

С помощью функции и формулы

легко вычислить нормальное распределение с любым математическим ожиданием и средним квадратичным отклонением.

Площадь под кривой нормального распределения.

В гистограмме за высоты прямоугольников брались значения, пропорциональные частотам. Тогда при одинаковой ширине интервалов площади отдельных прямоугольников пропорциональны наблюдаемым частотам. Следовательно, сумма частот всего ряда равна сумме площадей всех прямоугольников.

Обозначим ширину интервала через . Очевидно, площадь всех прямоугольников равна:

, где - число интервалов.

Увеличивая число измерений и повышая их точность, мы можем уменьшить ширину интервала и в пределе получить:



Вся площадь под кривой Гаусса равна единице (или 100%), независимо от величины :

.

График кривой нормального распределения с небольшим средним квадратическим отклонением (СКО)– узкий и высокий, а с большим СКО – широкий и плоский (см. рис.).

При вычислениях используют следующую интегральную функцию:



Эту функцию называют интегралом ошибок Гаусса (интегралом вероятностей).

Связь между величинами и имеет вид: .

численно равна площади под нормированной нормальной кривой распределения от 0 до или от 0 до , т.е. колоколообразная кривая симметрична.

Если и лежат по правую сторону от вершины кривой и , то искомая площадь .

Если оба значения лежат по левую сторону от вершины кривой, то пользуются тем же выражением.

2.Если одно значение лежит слева, а другое справа от вершины кривой, то искомая площадь .

Так как площадь под кривой нормального распределения равна 1, то площадь, ограниченная ординатами в точках и , представляет собой относительную частоту, или вероятность того, что значение признака попадает в интервал от до или, что то же самое, в интервал от до .

Если - общее число наблюдений, то частота вариационного ряда, которую следует ожидать в интервале или равна:

.

Таким образом, с помощью интеграла ошибок Гаусса вычисляется теоретическая частота на любом участке распределения.

Границы Число наблюдений между границами, %

Односигмовые

Двухсигмовые

Трёхсигмовые



68,26

95,44

99,73%



Рис. 3.6. Нормальное распределение.

Если надо получить 95, 99 и 99,9 %, то нужно вокруг математического ожидания отсечь участок с границами:

Границы Число наблюдений между границами, %





95

99

99,9 %

Вычисление площадей по уравнению , где

- плотность нормального распределения.

Информационное и программное обеспечение процесса вычисления интеграла ошибок Гаусса по заданным границам.В практике судоремонта при обработке результатов измерений часто встречаются распределения, незначительно отличающиеся от нормального (распределения Гаусса). Признаками образования нормального распределения обычно принято считать совокупное влияние на технологический процесс материала изделий, метода контроля станочного оборудования и субъективных качеств человека-оператора.

На базе нормального распределения можно значительно сократить время обработки результатов измерений и принятия эффективных оперативных решений по управлению качеством продукции. Сокращение определяется использованием известных свойств нормального распределения.

Вершина кривой нормального распределения располагается над абсциссой, соответствующей математическому ожиданию m. Кривая имеет форму колокола и симметрична относительно перпендикуляра к оси абсцисс, проходящего через точку m и ординату её вершины (рис. выше) Ветви кривой нормального распределения асимптотически приближаются к оси абсцисс. Площадь под кривой нормального распределения для равна единице или 100 %.

Плотность нормального распределения выражается функцией

, (3.2)

где ; - среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

При построении кривой, представленной на рис. 3.7., в уравнении (3.2) приняты следующие значения аргументов: математическое ожидание m = 0, среднее квадратическое отклонение , х = -3:0.01:3.

Вычисления выполнены с помощью оператора функции, помещённой в файле «sah133.m»:

% Файл "sah133.m"

% Функция для вычисления интеграла ошибок Гаусса.

function y=sah133(x);

sigma=1.0; m=0;

x=-3:0.01:3;

y=(1./(sigma*sqrt(2*pi)))*exp(-((x-m).^2)/(2*(sigma^2)));



Рис. 3.7. Нормальное распределение.

Заметим, что колоколообразная кривая в точках 1 и 2 претерпевает перегиб. Расстояние по оси абсцисс между этими точками равно , что позволяет наглядно (по рисунку) оценить среднее квадратическое отклонение.

Обычно на практике кривую нормального распределения используют в интервале изменения , составляющем

.

В этом случае площадь под кривой равна 0.999, т.е. за пределами границ остаётся лишь 0.001 или 0.1 % площади. Если первое число характеризует статистическую надёжность, то второе – риск (ошибку первого рода).

Обычно статистическим допуском считают интервал , для которого рассчитана кривая, приведённая на рис. 3.7.

Для вычисления всей площади под кривой Гаусса необходимо воспользоваться уравнением:

,(3.3)

из которого следует, что эта площадь равна единице независимо от .

В процессе практического использования кривой нормального распределения для контроля качества продукции требуется рассчитывать (3.3) для различных значений верхней и нижней границ интегрирования, по модулю существенно меньших бесконечности. Поэтому значение интеграла

(3.4)

Функция , называемая интегралом ошибок Гаусса, представляет собой относительную частоту или вероятность того, что значение признака попадает в интервал от до . Если F – общее число наблюдений, образующих вариационный ряд, то частота вариационного ряда, которую следует ожидать в интервале , равна

.

Обычно для вычисления площадей по уравнению (3.4) используют специальные таблицы функции нормального распределения, которые в требуемый момент в распоряжении расчётчика могут отсутствовать. Вместе с тем можно предложить простую процедуру, позволяющую в среде MatLAB выполнять расчёты площадей для любых и в режиме прямых вычислений.

Процедура основана на использовании функции вида:

type sah133

% Файл "sah133.m"

% Функция для вычисления интеграла ошибок Гаусса.

function y=sah133(x);

sigma=1.0; m=0.000;

y=(1./(sigma*sqrt(2*pi)))*exp(-((x-m).^2)/(2*(sigma^2)));

В отличие от текста файла, приведённого выше, здесь отсутствует строка, в которой задаётся вариация аргумента .

Затем в режиме прямых вычислений необходимо произвести интегрирование функции. Для этого воспользуемся функцией quad:

.(3.5)

В результате получим значение интеграла, определённого границами , (См. уравнение (3.4)) с погрешностью .

Если требуется обеспечить иную величину погрешности, функцию следует записать в виде: и задать требуемое значение «tol».

Ниже приводятся результаты вычислений площадей s, ss, sss и ssss по уравнению (3.5):

>> s=quad('sah133',-3,3)

s = 0.9973

>> ss=quad('sah133',-3.29,3.29)

ss = 0.9990

>> sss=quad('sah133',-2.15,1.18)

sss = 0.8652

>> ssss=quad('sah133',-2.15,-1.18)

ssss = 0.1032

Рассмотрим примеры практического применения нормального распределения и изложенного способа нахождения площадей.

Пример 1.

Необходимо построить кривую нормального распределения, если математическое ожидание m = 8433 и среднеквадратическое отклонение . Определить площади между кривой и ординатами, проведёнными через точки:

х1 8263 8433 8473

х2 8490 8480 8533

Решение. Для построения войдём в редактор «edit» и вызовем файл «sah133.m». Внесём данные m и , определённые условием примера, а также зададим элементы вектора в виде последовательности . В результате будем иметь:

functiony=sah133(x);

sigma=56.5; m=8433;

x=8273:8593;

y=(1./(sigma*sqrt(2*pi)))*exp(-((x-m).^2)/(2*(sigma^2)));

Запишем файл с внесёнными изменениями в каталог MatLAB и войдём в эту среду. Инициируем работу файла. Получив вектор , в режиме прямых вычислений зададим

v = 8273:8593,

а затем построить график с помощью оператора

plot (v, y), grid

В результате получим кривую, представленную на рис. 3.8, в виде копии с экрана дисплея.



Рис. 3.8. Графические построения с помощью функции sah133.m.

Удалим из файла «sah133.m» строку

x=8273:8593.

Затем после коррекции в режиме прямых вычислений выполним расчёты:

% Файл "sah133.m"

function y=sah133(x);

sigma=56.5; m=8433;

y=(1./(sigma*sqrt(2*pi)))*exp(-((x-m).^2)/(2*(sigma^2)));

>> s1=quad('sah133',8263,8490)

s1 = 0.8422

>> s2=quad('sah133',8433,8480)

s2 = 0.2973

>> s3=quad('sah133',8473,8533)

s3 = 0.2011

Таким образом, между ординатами точек, согласно условию задачи, располагается

84.22%, 29.73% и 20.11% всей площади.

Пример 2.

На практике может понадобиться сравнить распределения, относящиеся к нескольким процессам с различными m и . Площади под соответствующими кривыми, конечно, должны быть равны.

Построения кривых могут быть выполнены также в режиме прямых вычислений, если предварительно рассчитать распределения и в виде файлов y1, y2, … , yn записать их в каталог MatLAB с помощью оператора «save». Тогда предварительно для графических построений эти распределения должны быть записаны в оперативную память с помощью оператора «load».

Ниже приводится последовательность построения графиков двух нормальных распределений у1 и у2 с параметрами , и , .

% Файл "sah133.m"

function y1=sah133(x);

sigma=0.030; m=43.507;

x=43.585:-0.001:43.425;

y1=(1./(sigma*sqrt(2*pi)))*exp(-((x-m).^2)/(2*(sigma^2)));

save y1

% Файл "sah133.m"

function y2=sah133(x);

sigma=0.017; m=43.503;

x=43.585:-0.001:43.425;

y2=(1./(sigma*sqrt(2*pi)))*exp(-((x-m).^2)/(2*(sigma^2)));

save y2

>> load y1;

>> load y2;

>> v=43.585:-0.001:43.425;

>> plot(v,y2,v,y1),grid

Кривые распределений представлены на рис. 3.9.

При вычислении характеристик следует выбирать вектор во всех случаях одинаковой размерности.



Рис. 3.9. Сравнениедвухпроцессов.

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

4.2.Расчётэлементовконтрольныхкарт. Обработка данных измерений.Рассмотрим пример построения контрольных карт, отражающих процесс, определённый данными измерений, приведённых в таблице 4-3, собранные специально за определённый промежуток времени. Эти данные обрабатываются следующим образом:

Результаты измерений отдельных изделий объединяют в k групп (k обычно 20-25) объёмом 4-5 результатов и измеряют их характеристики.

Среднее первой группы обозначают , среднее второй группы и т.д. (Среднее k-той группы ).

Рассчитывают среднее этих средних ,,…,. Оно становится центральной линией контрольной карты.

Для каждой подгруппы определяют размахи на основе данных по каждой группе.

Определяют среднее этих значений, которое также принимается за центральную линию контрольной карты.

используя формулы таблицы 4-2, на основе этих данных наносят на график контрольные линии. Граничные коэффициенты , , для расчётов берутся из таблицы В для соответствующих объёмов одной выборки .

На практике вычисления упрощаются путём использования специальной таблицы, отражающей связь различных факторов центральной линии, - граничных линий и центральной линии для при построении трёх видов карт (таблица устанавливает связь по данным и ).

карты для средних,

карты для стандартных отклонений,

карты для размахов.

Для и - карт, в частности, можно воспользоваться формулами:

, ,

, ,

где , , - факторы, изменяющиеся в зависимости от размера подгруппы (числа измерений, образующих подгруппу), полученные из условия .

Отклонение основывается на подстановке и оценке , где - фактор для размера подгруппы.

.

Следовательно, фактор может быть вычислен: .

Для - карты размах используется для оценки стандартного отклонения размаха ().

Отклонение в приближённой формуле основано на подстановке и , которые дают

и для границ управления.



Таким образом, факторы и равны коэффициентам при . Если по расчёту меньше нуля, то оно выбирается равным нулю, что следует непосредственно из табл. В.

Табл.4-2. Контрольные карты и контрольные пределы

Название контрольной карты Что контролируется Контрольные пределы

Верхний контрольный предел (UCL) Нижний контрольный предел (LCL)

Контрольная карта Среднее





Контрольная карта Размах

Контрольная карта Процент брака

Контрольная карта Количество брака

Контрольная карта Число дефектов на единицу площади

Контрольная карта Число дефектов на одно изделие

, , - константы, зависящие от объёма выборки (они называются граничными коэффициентами); - процент брака из предыдущих данных; , - также значения из предыдущих данных.

Табл. 4-3. Данные измерений глубины шпоночной канавки изделия.

(Постоянная составляющая 6.00 мм для упрощения записи не пишется.)

Номер подгруп-пы Дата Время Измерения Среднее значение = Размах R

х1 х2 х3 х4 1

2

3

4

5 23.01.02 8:50

11:30

1:45

3:45

4:20 35

46

34

69

38 40

37

40

64

34 32

36

34

68

44 33

41

36

59

40 6.35

6.40

6.36

6.65

6.39 0.08

0.10

0.06

0.10

0.10

6

7

8

9

10 27.01.02 8:35

9:00

9:40

1:30

2:50 42

44

33

48

47 41

41

41

52

43 43

41

38

49

36 34

46

36

51

42 6.40

6.43

6.37

6.50

6.42 0.09

0.05

0.08

0.04

0.11

11

12

13

14

15 28.01.02 8:30

1:35

2:25

2:35

3:55 38

37

40

38

50 41

37

38

39

42 39

41

47

45

43 38

37

35

42

45 6.39

6.38

6.40

6.41

6.45 0.03

0.04

0.12

0.07

0.08

16

17

18

19

20 29.01.02 8:25

9:25

11:00

2:35

3:15 33

41

38

33

56 35

40

44

32

55 29

29

28

37

45 39

34

58

38

48 6.34

6.36

6.42

6.35

6.51 0.10

0.12

0.30

0.06

0.11

21

22

23

24

25 30.01.02 9:35

10:20

11:35

2:00

4:25 38

39

42

43

39 40

42

39

36

38 45

35

39

35

43 37

40

36

38

44 6.40

6.39

6.39

6.38

6.41 0.08

0.07

0.06

0.08

0.06

Сумма 160.25 2.19

Согласно таблице, суммарные значения , и . Поэтому центральные линии должны соответствовать следующим значениям:

мм; мм.

Для нахождения границ и - карт воспользуемся табличными данными, содержащими значения факторов. В частности, если , то факторы для такой подгруппы равны:

= 0.729, = 0, = 2.282.

Границы, базирующиеся на экспериментальные данные, будут определены следующим образом:

= 6.41+(0.729)*(0.0876) = 6.48 мм

= 6.41-(0.729)*(0.0876) = 6.35 мм

Граничные значения для - карты:

= (2.282)*(0.0876) = 0.20 мм

= (0)*(0.0876) = 0 мм

Построение и - карты с помощью компьютера приведено ниже.

Корректировка границ уравнения.

На первом шаге производится построение - карты и - карты по данным измерений и анализируется процесс, если некоторые контрольные точки выходят за пределы -ых границ. Приведённые карты можно считать первым этапом контроля качества продукции.

Следующая ступень состоит в изменении положения центральной линии и границ по мере появления последующих измерений и адаптации границ к условиям стандарта, то есть произвести установление уточнённых пределов уравнения.

Если анализ предшествующих данных позволяет заключить, что управление хорошее, то и могут рассматриваться как репрезентативные значения процесса и могут быть приняты в качестве стандартных и . Хорошим может считаться процесс, не содержащий точек измерений за пределами границ управления, с учётом значений дисперсий.

Наибольшее число производственных процессов не обладает таким свойством. Например, анализ - карты, построенный по данным измерений (табл. 4-3), что измерения в контрольных точках 4, 9, 16 и 20 (измерения соответствующих подгрупп), а также точка 18 на - карте выходят за пределы границ. Кроме того, большее число точек измерений располагается ниже центральной линии, что, несомненно, свидетельствует о влиянии экстремальных точек соответствующих подгрупп.

В то же время подгруппы 9 и 16 не имеют внешних (явных) причин для объяснений. Можно предположить, что 9 и 16 подгруппы, выходящие за установленные пределы регулирования, скорее всего следует отнести к какой-то части нормального распределения.

Исключив эти группы из рассмотрения как анормальные, вызванные внешними объяснимыми причинами, мы можем для оставшихся данных вновь вычислить и .

Согласно таблице 4-3, подгруппы 4, 18 и 20, скорее всего, не являются частью нормального распределения и не могут характеризовать нормальный ход технологического процесса, следовательно, могут быть исключены из данных. Тогда значения и определятся заново (по оставшимся подгруппам):

, , где

- среднее исключённых подгрупп,

- число исключённых подгрупп,

- размах исключённых подгрупп.

Для определения исключаемых (отбрасываемых) подгрупп существуют два технических приёма:

если либо значение подгруппы выходят за пределы границ управления по чётко определённой причине (определяющей «грубую» помеху). При этом такие подгруппы, содержащиеся в одной из карт, исключаются.

второй приём предусматривает исключение лишь «запредельных» значений по одной из карт. Ниже рассмотрим случай, когда исключения производятся только по карте , без учёта отклонений от нормы подгрупп в карте , либо наоборот, - по карте , без исключения данных по карте .

Вычисления для новой , согласно приведённым формулам, должны выполняться без двух значений , равных 6.65 и 6.51 (подгруппы 4 и 20):

мм.

Вычисления линии среднего размаха должны быть выполнены без учёта подгруппы 18 со значением , равным 0.30:

мм.

Новые значения и используются для установления стандартных значений, и :

, , ,

где - фактор для оценки по , определяемый по таблице В. Стандартные или приведённые выше значения средних величин могут рассматриваться как наилучшая оценка применительно к имеющимся в наличии данным измерений. Если будет в наличии большее число данных, оценки могут получаться с известной долей надёжности (уверенности) при существующих стандартных величинах.

Используя стандартные значения, мы можем установить граничные значения по центральным линиям при допуске с помощью следующих зависимостей:

, ,

, ,

где , и - факторы, которые определяются с помощью таблицы В.

Для подгруппы из 4-х измерений эти факторы равны:

=1.500,=0, =4.698,=2.059.

Следовательно, ординаты центральных линий и граничных значений равны:

=6.40 мм, =0.08 мм, мм.

Таким образом, пределы управления равны:

=6.40+(1500)*(0.038)=6.46 мм,

=6.40-(1500)*(0.038)=6.34 мм,

=(4.698)*(0.038)=0.18 мм,

=(0)*(0.038)=0 мм.

Далее следует построить карты с полученными рабочими параметрами.

Чтобы сделать использование контрольных карт для управления производственным процессом эффективным, необходимо полученные значения наглядно представлять как операторам, так и супервизорам (т.е. проверяющим).

Статистический контроль в промышленности

histfit – функция служит для «пригонки» кривой плотности нормального распределения, наложенной на гистограмму, построенную на элементах выборки

Пример

v=normrnd(8,2,70,1);

histfit(v),grid

schart- контрольная карта, содержащая график изменения соеднеквадратичного отклонения исследуемой последовательности выборочных значений;

xbarplot- карта средних значений контроля качества.



Рис. Применение функций v=normrnd(8,2,70,1) и histfit(v),grid

Табл. B. Факторы для вычисления центральных линий X-, S- и R- контрольных карт при 3-сигмовом распределении.



Прежде чем приступить к решающему шагу, остановимся на нескольких окончательных комментариях.

Во-первых, многие аналитики исключают этот шаг в процедуре, так как считают его излишним. Однако, путём исключения точек, выходящих за пределы управления по значительным причинам, центральная линия и пределы управления становятся более репрезентативными для населения.

Во-вторых, центральная линия для - карты часто основывается на спецификациях: требованиях заказчика, деталях контракта. В таком случае процедура используется только для получения и .

Наконец, если задаются, например, наиболее широко используемые параметры ( и ), центральные линии и границы управления рассчитываются наиболее просто:

; ; ,

по которым далее с помощью вышеприведённых формул находятся границы.

Достижение цели.

Когда контрольные карты впервые вводятся на рабочем центре, обычно это приводит к улучшению характеристик технологического процесса. Это первоначальное улучшение особенно заметно, когда процесс зависит от умелых действий оператора. Здесь основополагающим фактором, приводящим к повышению качества с применением контрольной карты, является психологический сигнал, предпринятый по отношению к оператору, с целью улучшения его исполнения. Абсолютное большинство рабочих хотят произвести качественную продукцию. Поэтому, когда руководитель проявляет интерес к качеству, оператор реагирует (отвечает) на это.

По окончании января центральная линия и границы были вновь рассчитаны по данным измерений в течение месяца. Это хорошая идея, в особенности тогда, когда карта, будучи инициализированной, используется для вычисления стандартных значений параметров периодически, чтобы увидеть, появляются ли какие-либо изменения в управляемом процессе. Эта переоценка может производиться для каждых 20-25 подгрупп, и результаты сравниваются с предыдущими значениями.

Далее производят расчёты по измерениям в феврале месяце.

Генерация идей с помощью многих различных кадров состоит в установлении наиболее существенного ингредиента для улучшения качества. Практическое использование контрольных карт показало, что корректировку положения центральной линии и границ целесообразно производить по подгруппам контролируемых деталей. Это означает, что при управляемом процессе корректировку можно производить, например, ежемесячно. При этом, с целью упрощения процедуры контроля, можно наносить лишь линии границ вариации параметров и положение центральной линии. Характерно то, что после нескольких месяцев работы (приблизительно в одинаковых условиях) процесс стабилизируется (границы смещаются незначительно). Следовательно, можно предположить, что возможности улучшения процесса обработки при существующей схеме «станок – приспособление – инструмент – деталь (СПИД)» практически исчерпаны. Поэтому для улучшения показателей технологического процесса необходимо изменять компоненты СПИД и использовать контрольные карты для оценки эффективности введённых изменений. Контрольная карта подтвердит, если сама идея хороша. Только одна идея должна проверяться на данном этапе времени; в противном случае результаты могут быть запутанными и даже противоположными ожидаемым улучшениям.

Полученные в июне результаты далее не подвержены улучшению. Это значит, что на данном оборудовании, без его замены и без перехода на новые технологии улучшений достигнуть не удастся, без модернизации оборудования.

Вот, прежде всего, в чём причина того, почему появились контрольные карты, при условии, что весь персонал использует карты как метод для улучшения качества.

Когда достигнута цель использования карты на первом этапе, можно приступать к раздельным оценкам различных предложений и проведению мониторинга. Результаты могут быть достигнуты в других направлениях по улучшению технологических характеристик.

4.4.Контрольная карта для стандартных отклонений.Рассмотренные выше и - карты позволяют довольно эффективно управлять качеством технологического процесса в судостроении и судоремонте. Однако иногда приходится использовать такие контрольные карты для стандартных отклонений, представляющих собой фактически меру дисперсии подгрупп. Построение таких карт в сравнении, например, с - картами является более трудоёмким. Ранее было отмечено, что - карта также отражает дисперсионные свойства процесса, по крайней мере, для числа подгрупп, меньшего 10. С увеличением числа подгрупп экстремальные значения контролируемого параметра оказывают чрезмерное влияние на - карту, а - карта в этом случае позволяет оценить процесс с большей аккуратностью.

Хотя карты и являются наиболее часто применяемыми для оценки переменных, ряд компаний предпочитают стандартные отклонения, используемые как мера дисперсии подгруппы. В сравнении - карты с - картой, - карта легче вычисляется и легче в объяснении. С другой стороны, стандартное дискретное отклонение подгруппы для - карты вычисляется с использованием всех данных, независимо от того, выше или ниже располагаются данные для - карты. Когда число подгрупп меньше, чем 10, … … … … ; однако, если число подгрупп превышает 10, экстремальные значения оказывают чрезмерное влияние на - карту. Поэтому используется для большого числа подгрупп - карта.

Последовательность построения - карт на первом и последующих этапах сохраняется той же, что и при создании и - карт. В частности, для получения карты на первом этапе (первое приближение) следует воспользоваться соотношениями:

, ,(4.1)

,,

,,(4.2)

где - стандартное отклонение для значений подгруппы,

- среднее значение стандартных отклонений всех подгрупп,

- факторы, определяемые по таблице В, построенной для - границ управления качеством продукции.

На втором и последующем этапах карты корректируются с помощью формул для вычислений уточнённых (после обработки данных) границ управления, используя стандартные значения и :

,

,,(4.3)

,,

,,

где используются следующие обозначения:

- стандартное отклонение исключаемой подгруппы,

- фактор для вычисления через параметр , приведённый в таблице В,

- факторы для вычисления пределов - процесса управления при построении и - карт, также приведённые в таблице В.

Построение - карты выполним по данным таблицы 4-4, где, в отличие от 4-3, содержится столбец со стандартными отклонениями (столбец заменим на ).

Табл. 4-4. Данные измерений глубины шпоночной канавки изделия.

(Постоянная составляющая 6.00 мм для упрощения записи не пишется.)

Номер подгруп-пы Дата Время Измерения Среднее значение =

х1 х2 х3 х4 1

2

3

4

5 23.01.02 8:50

11:30

1:45

3:45

4:20 35

46

34

69

38 40

37

40

64

34 32

36

34

68

44 33

41

36

59

40 6.35

6.40

6.36

6.65

6.39 0.036

0.045

0.028

0.045

0.042

6

7

8

9

10 27.01.02 8:35

9:00

9:40

1:30

2:50 42

44

33

48

47 41

41

41

52

43 43

41

38

49

36 34

46

36

51

42 6.40

6.43

6.37

6.50

6.42 0.040

0.024

0.034

0.018

0.045

11

12

13

14

15 28.01.02 8:30

1:35

2:25

2:35

3:55 38

37

40

38

50 41

37

38

39

42 39

41

47

45

43 38

37

35

42

45 6.39

6.38

6.40

6.41

6.45 0.014

0.020

0.051

0.032

0.036

16

17

18

19

20 29.01.02 8:25

9:25

11:00

2:35

3:15 33

41

38

33

56 35

40

44

32

55 29

29

28

37

45 39

34

58

38

48 6.34

6.36

6.42

6.35

6.51 0.042

0.067

0.125

0.029

0.054

21

22

23

24

25 30.01.02 9:35

10:20

11:35

2:00

4:25 38

39

42

43

39 40

42

39

36

38 45

35

39

35

43 37

40

36

38

44 6.40

6.39

6.39

6.38

6.41 0.036

0.029

0.024

0.036

0.029

Сумма 160.25 0.981

На первом шаге необходимо определить стандартные отклонения для каждой подгруппы из представленных предварительных данных, содержащей измерений, по формуле:

.

В частности, для первой подгруппы (см. табл. 4-3) [6.35 6.40 6.32 6.33] стандартное отклонение

мм.

Эта величина занесена первым элементом столбца (см. табл. 4-4). Аналогично получены оставшиеся 24 значения этого столбца.

Согласно соотношениям (4.1), получим:

мм,

мм.

Для определения верхней и нижней границ карт в терминах средних значений и необходимо использовать соответствующие факторы из таблицы В. В частности, в строке содержатся:

и .

В результате по формулам (4.2) получим:

мм,

мм.

Заметим, что границы совпадают с ранее полученными через и размах .

Далее следует определить границы для - карты:

мм,

мм.

Теперь можно приступить к построению контрольных карт на компьютере. С этой целью составим файл «sah268.m», который содержит все операции, описанные выше для построения карт на первом этапе. По завершении работы файла представлены выборочно результаты вычислений:

- матрица исходных данных,

- вектор стандартных отклонений подгрупп,

- среднее значение стандартных отклонений,

- положение центральной линии всех подгрупп - карты,

- верхняя и нижняя границы - карты,

- верхняя и нижняя границы - карты.

Здесь же представлены - карта и - карта, построенные с помощью оператора «plot» по расчётным данным.

Из анализа - карты следует, что средние значения параметра в точках 4, 9, 16 и 20 выходят за границы регулирования. Поэтому на втором этапе анализа подгруппы 4 и 20, которые оказывают наибольшее влияние на расчётные данные, могут быть исключены. Кроме того, из рассмотрения - карты следует, что подгруппа 18, выходящая за пределы регулирования, также оказывает значительное влияние на карту. Поскольку подгруппы слева и справа от неё имеют параметры, не выходящие за границы регулирования, можно считать, что этот параметр не является характерным для режима и вызван чисто случайными внешними возмущениями (например, повреждением масляной системы станка и т.п.). Показания этой подгруппы при уточнённом расчёте - карты также могут быть исключены. Таким образом, стандартные значения и определим по формулам (4.3):

мм,

мм,

, где (из табл. В),

мм.

Можно заметить, что стандартное отклонение совпадает со значением, определённым через среднее значение размаха.

Используя стандартные величины и , можно вычислить уточнённые границы управления. Граничные значения для - карты и - карты равны:

мм,

мм,

мм,

мм,

где и определены с помощью данных таблицы В.

4.5.Информационное и программное обеспечение процедуры построения контрольных карт.Для графической иллюстрации выполненных расчётов приведем рис., на котором с помощью оператора «plot» построим центральную линию и границы по оценкам на первом шаге для откорректированных данных. (Выполняются графические построения в режиме прямых вычислений).

Видно, что пределы для и - карт удалось сузить в сравнении с решением на первом шаге. Не произошло никаких изменений в оценке , поскольку число измерений в подгруппе не превышает 7. Здесь можно не выводить на экран точки начальных 25 измерений. Чтобы сделать эффективным использование контрольных карт в процессе производства, лучше было бы вывести их в наиболее ответственный момент, когда результаты будут заметными как для операторов, так и для контролёров.

Файл ‘sah268.m’ и его результаты:

% File 'sah268.m'.

% The Sample Standard Deviation Control Chart. (Типовая диаграмма контроля(управления) среднеквадратичного отклонения)

% Measurements: (Измерения)

x1=[35 46 34 69 38 42 44 33 48 47 38 37 40 38 50 33 41 38 33 56 38 39 42 43 39];

x2=[40 37 40 64 34 41 41 41 52 43 41 37 38 39 42 35 40 44 32 55 40 42 39 36 38];

x3=[32 36 34 68 44 43 41 38 49 36 39 41 47 45 43 29 29 28 37 45 45 35 39 35 43];

x4=[33 41 36 59 40 34 46 36 51 42 38 37 35 42 45 39 34 58 38 48 37 40 36 38 44];

% ==============================================

X=[x1;x2;x3;x4];

z=mean(X).*0.01+6;

v=sum(z);

XX=X.*0.01+6

pause,

clc

L=std(XX)

pause,

clc

Ls=sum(L)

pause

% ==============================================

% Controlcharts: (диаграммы контроля(управления))

% --------------------

% Averageofthesubgroupsamplestandarddeviations: (среднее число подгруппы производит выборку среднеквадратичных отклонений)

g=25;

s1=Ls/g

X1=v/g

pause

clc

%----------------------

% Factorsfromtableforcontrollimits (n=4): (Табличныекоэффициентыдляпределовконтроля(управления) )

A3=1.628; B3=0; B4=2.266;

% Controllimits: (пределы контроля(управления))

UCLx=X1+A3*s1

LCLx=X1-A3*s1

UCLs=B4*s1

LCLs=B3*s1

pause

% Charts: (диаграммы)

k=1:25;

% X1-chart:

plot(k,z,k,z,'*',k,ones(1,25).*X1,k,ones(1,25).*UCLx,k,ones(1,25).*LCLx),grid

pause

% s1-chart:

plot(k,L,k,L,'*',k,ones(1,25).*s1,k,ones(1,25).*UCLs,k,ones(1,25).*LCLs),grid

Результаты:

>> XX =

Columns 1 through 7

6.3500 6.4600 6.3400 6.6900 6.3800 6.4200 6.4400

6.4000 6.3700 6.4000 6.6400 6.3400 6.4100 6.4100

6.3200 6.3600 6.3400 6.6800 6.4400 6.4300 6.4100

6.3300 6.4100 6.3600 6.5900 6.4000 6.3400 6.4600

Columns 8 through 14

6.3300 6.4800 6.4700 6.3800 6.3700 6.4000 6.3800

6.4100 6.5200 6.4300 6.4100 6.3700 6.3800 6.3900

6.3800 6.4900 6.3600 6.3900 6.4100 6.4700 6.4500

6.3600 6.5100 6.4200 6.3800 6.3700 6.3500 6.4200

Columns 15 through 21

6.5000 6.3300 6.4100 6.3800 6.3300 6.5600 6.3800

6.4200 6.3500 6.4000 6.4400 6.3200 6.5500 6.4000

6.4300 6.2900 6.2900 6.2800 6.3700 6.4500 6.4500

6.4500 6.3900 6.3400 6.5800 6.3800 6.4800 6.3700

Columns 22 through 25

6.3900 6.4200 6.4300 6.3900

6.4200 6.3900 6.3600 6.3800

6.3500 6.3900 6.3500 6.4300

6.4000 6.3600 6.3800 6.4400

L =

Columns 1 through 7

0.0356 0.0455 0.0283 0.0455 0.0416 0.0408 0.0245

Columns 8 through 14

0.0337 0.0183 0.0455 0.0141 0.0200 0.0510 0.0316

Columns 15 through 21

0.0356 0.0416 0.0560 0.1254 0.0294 0.0535 0.0356

Columns 22 through 25

0.0294 0.0245 0.0356 0.0294

Ls = 0.9721

s1 = 0.0389

X1 = 6.4100

UCLx = 6.4733

LCLx = 6.3467

UCLs = 0.0881

LCLs = 0

>>



Рис. 4.2. Построение контрольной x-карты.



Рис. 4.3. Построение контрольной s-карты.

8.Информационное обеспечение графических построений при управлении качеством продукции.

8.1.Использование функции «gaussmf» для построения кривых Гаусса.Файл «sah249.m».

Построим кривые Гаусса с использованием функции gaussmf для x изменяющегося от 0 до 10 с шагом 0.1

x=0:0.1:10;

y1,y4 – для постоянного мат ожидания m=5 и измен. дисперсией =0.5; 1; 2; 3, а так же

y11-y14 – для постоянных дисперсий =1 и изменяющимся мат ожиданием m=2; 4; 6; 8.

% sah249.m

% Usinq the function "gaussmf".

x = (0:0.1:10)';

y1 = gaussmf(x, [0.5 5]);

y2 = gaussmf(x, [1 5]);

y3 = gaussmf(x, [2 5]);

y4 = gaussmf(x, [3 5]);

subplot(211); plot(x, [y1 y2 y3 y4]),grid;

y1 = gaussmf(x, [1 2]);

y2 = gaussmf(x, [1 4]);

y3 = gaussmf(x, [1 6]);

y4 = gaussmf(x, [1 8]);

subplot(212); plot(x, [y1 y2 y3 y4]),grid;

pause

clf

% Using the function "gauss2mf".

x=0:0.1:10;

y1=gauss2mf(x,[2 5 1 8]);

y2=gauss2mf(x,[2 5 1 7]);

y3=gauss2mf(x,[2 6 1 6]);

y4=gauss2mf(x,[2 7 1 5]);

y5=gauss2mf(x,[2 8 1 4]);

plot(x,[y1;y2;y3;y4;y5]),grid

%plot(x,y1),grid

Результаты:



Рис. 8.1. Построение графика функции «gaussmf».



Рис. 8.2. Построение графика функции «gauss2mf».

8.2.Графическая интерпретация статистического контроля качества продукции.Файл «sah251.m».

Оператор «bar» - построение графиков столбцовой диаграммы,

«barh» - горизонтальных столбцов

Ex. % Построение столбцовой диаграммы

y=[10 15 50 15 10];

x=[0.1 0.3 0.5 0.7 0.9];

bar (x,y), grid

pause

bar (x,y,1), grid % безпробелов

pause

barh (x,y), grid % горизонтально

Стохастические функции

«round» - округление элементов матрицы

«rand» - генерирование случайных чисел в определённом интервале.

% sah251.m.

% Graphics for experimental data.

%-----------------------------------

% Bar and barh.

y=[10 15 50 15 10]; x=[0.1 0.3 0.5 0.7 0.9];

bar(x,y),grid

pause

bar(x,y,1),grid

pause

% Stochastic data

Z=round(rand(7,5)*100);

bar(Z,'group'),grid

title 'Group'

pause

% вертикальная группировка элементов столбцов

bar(Z,'stack'),grid

title 'Stack'

pause

barh(Z,'stack'),grid

title 'Stack'

pause

%---------------------------------------

% Statistical control.

V=normrnd(10,1,100,1);

histfit(V),grid

pause

p=capaplot(V,[7,13])

Результаты:



Рис. 8.3. Построение графиков столбцовой диаграммы.



Рис. 8.4. Построение графиков столбцовой диаграммы (без пробелов).



Рис. 8.5. Построение графиков столбцовой диаграммы 7 групп по 5 случайным образом.



Рис. 8.6. Построение графиков столбцовой диаграммы 7 групп по 5 случайным образом (вертикальная группировка элементов столбцов).



Рис. 8.7. Построение горизонтальных графиков столбцовой диаграммы 7 групп по 5 случайным образом (вертикальная группировка элементов столбцов).



Рис. 8.8. Построение гистограммы частот и кривой нормального распределения по случайным данным (функция normrnd(10,1,100,1)).



Рис. 8.9. Построение кривой нормального распределения по случайным данным.

>> % Площадь под кривой на рис. 8.9.

p = 0.9994

>>

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

ЗАНЯТИЕ № 7

Динамические модели. Колебания маятника.

% Файл sah511.m

% Моделирование колебаний маятника.

global g L

g=9.81; L=1.0;

% При малых углах- квазилинейная модель.

[ta,xa]=ode45('sah512',[0 5],[0.4 0]);

% При больших углах-нелинейная модель.

[tb,xb]=ode45('sah512',[0 5],[0.8*pi 0]);

% На графиках - периодические сигналы с различными частотами.

plot(ta,xa(:,1),tb,xb(:,1)),grid

xlabel('Time (s)'),ylabel('Angle (rad)')

%% gtext(' Case 1'),gtext(' Case 2')

% Решение с помощью функции initial:

A=[0 1;-g/L 0];B=[1 1]';C=[1 0;0 1]; D=[0 0]';

tet0=[0.4 0]'; dt=0.1; Tf=5;

t=0:dt:Tf;

sys1=ss(A,B,C,D)

[y,t,tet]=initial(sys1,tet0,t);

plot(ta,xa(:,1),ta,xa(:,2),tb,xb(:,1),t,tet(:,1),t,tet(:,2),'.'),grid

% Заметим, что на графиках видна ошибка вследствие того,

% что при численном интегрировании используется нелинейная

% модель, хотя и при малых углах.

% sah512.m

% - ФАЙЛ-ФУНКЦИЯ -

% Основной файл sah511.m

function fx=sah512(t,x);

global g L

fx=[x(2);-(g/L)*sin(x(1))];

Решение задачи моделирования колебаний маятника средствами символьной математики

% Файл 'sah371.m'.

% Модель маятника при малых углах отклонения.

% tet несущественно отличается от sin(tet).

syms x

%A g L;

g=9.81;L=1;

A=[0.2 0]';

y=dsolve('D2x+(g/L)*x=0','x(0)=A','Dx(0)=0')

pretty(y)

% Решение

% y = (A*exp((t*(-L*g)^(1/2))/L))/2 + A/(2*exp((t*(-L*g)^(1/2))/L))

Колебания тележки

% Файл sah509CT.m

% -ОСНОВНОЙ-

% C задачами о колебаниях мобильных систем часто приходится иметь дело на

% транспорте. В частности, при подаче порожних вагонов в портах под

% погрузку (выгрузку) могут возникать колебания вагонов, вызванные многочис-

% ленными источниками возбуждения колебаний.Устранение ударных и

% вибрационных нагрузок имеет исключительно большое значение для обеспечения

% нормальной работы систем и создания комфортных условий выполнения

% перегрузочных операций. Обычно для защиты от чрезмерных вибраций в конструкцию

% транспортного средства (вагона) вводят упругие опоры, снабженные устрой-

% ствами, обеспечивающими желаемое демпфирование колебаний. Такие конструкции

% резко уменьшают частоты собственных колебаний вагонов,обеспечивая их существенное

% отличие от частот возмущающих силовых факторов. Подобные решения эффективны

% как средства защиты от стационарных колебаний, однако в случаях ударных

% нагрузок податливость опор может привести к недопустимо большим

% смещениям.

% Известно, что от этих недостатков свободны системы подвесок, в которых

% используются пружины с симметричной нелинейной характеристикой, жесткость

% которых прогрессивно увеличивается при больших отклонениях от "рабочей"

% точки.Чтобы выяснить влияние конструктивных параметров демпфирующего

% устройства вагона на изменения во времени переменных состояния вагона

% (перемещения, скорости), создадим модель,состоящую из массы вагона с грузом

% m, связанной с жесткой стенкой через пружину постоянной жесткости k,

% демпфер с коэффициентом демпфирования c и пружины с нелинейной

% характеристикой, создающей восстанавливающую силу, равную произведению

% постоянной k1 на смещение в третьей степени. Такая "кубическая" пружина

% имеет симметричную нелинейную характеристику, обеспечивающую защиту от

% ударных и вибрационных нагрузок.

% Движение такой системы описывается нелинейным дифференциальным

% уравнением

% m*d2x/dt2 + c*dx/dt + k*x+ k1*x^3=0,

% то традиционно точные (аналитические) методы не позволяют найти зависимость

% смещения x от времени. Поэтому для решения указанного уравнения следует

% прибегнуть к численному методу.

% Моделирование системы "масса, пружина,сопротивление,пропорциональное

% скорости".

global c f k m k1

m=5000; c=3500; k=700; k1=200;

%%m=0.01; k=2; c=0.15; k1=0.2;

%f=10;

%Сигнал f=6*sin(5*t) должен вноситься в файл -функцию.

% Глобальными параметрами могут быть только константы!

%t0=0; tf=8;

t0=0; tf=15;

%x0=[-5 0];

x0=[10 0]';

%%x0=[0 0]';

[t,x]=ode45('sah510CT',[t0 tf],x0);

%plot(t,x),grid

plot(t,x(:,1),t,x(:,2)*1),grid

xlabel(' Время (с)'),

title('Демпфирование колебаний вагона')

ylabel('Перемещение вагона (CM), Скорость (CM/С)')

%%pause

% Применение функции STEP:

%%A=[0 1;-k/m -c/m]; B=[0 1/m]'; C=[1 0;0 1]; D=[0 0]';

%%sys = ss(A,B,C,D);

%%[z,ts]=step(sys,tf);

%%plot(t,x(:,1),t,x(:,2),ts,z(:,1),'.',ts,z(:,2),'.'),grid

%%pause

% Применениефункции INITIAL:

%%[xi,ti]=initial(sys,x0,tf);

%%plot(t,x(:,1),t,x(:,2)*0.03,ti,xi(:,1),'.',ti,xi(:,2)*0.03,'.'),grid

% Вывод графиков с управлением в масштабе LSIM, см. файл sah706.m

%%u=6*sin(5*t);

%plot(t,x(:,1),t,u),grid

%pause

%plot(t,x(:,2),t,u),gri

% Файл sah509.m

% -ОСНОВНОЙ-

% Моделирование системы "масса, пружина,сопротивление,пропорциональное

% скорости".

global c f k m k1

m=1; c=0.8; k=1;f=2;k1=0.00500

f=2;

%Сигнал f=6*sin(5*t) должен вноситься в файл -функцию.

% Глобальными параметрами могут быть только константы!

t0=0; tf=15;

%x0=[-5 0];

x0=[10 0]';

%%x0=[0 0]';

[t,x]=ode45('sah510',[t0 tf],x0);

plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid

xlabel(' Время(с)'),

ylabel('Перемещение (см), Скорость (см/с)')

%pause

% Применение функции STEP:

%A=[0 1;-k/m -c/m]; B=[0 1/m]'; C=[1 0;0 1]; D=[0 0]';

%sys = ss(A,B,C,D);

%[z,ts]=step(sys,tf);

%%plot(t,x(:,1),t,x(:,2),ts,z(:,1),'.',ts,z(:,2),'.'),grid

%%pause

% Применениефункции INITIAL:

%[xi,ti]=initial(sys,x0,tf);

%plot(t,x(:,1),t,x(:,2)*0.03,ti,xi(:,1),'.',ti,xi(:,2)*0.03,'.'),grid

% Вывод графиков с управлением в масштабе LSIM, см. файл sah706.m

%u=6*sin(5*t);

%plot(t,x(:,1),t,u),grid

%pause

%plot(t,x(:,2),t,u),grid

% Файл sah510.m.

% -ФАЙЛ-ФУНКЦИЯ-

% Моделирование системы " масса, пружина, вязкое трение".

% Основной файл sah509.m

function xf=sah510(t,x);

% Положение тела -первая переменная состояния, скорость- втоая

% переменная состояния.

global c f k m k1

A=[0 1;-k/m -c/m]; B=[0 1/m]';

xf=A*x+B*f;

%%xf=A*x+B*6*sin(5*t);

%%xf=[x(2);-c/m*x(2)-k/m*x(1)-k1/m*x(1)^3]+B*f;

% Переходный процесс при нулевом входном сигнале

%% xf=A*x+B*0;

% Переходный процесс при единичном входном сигнале и нулевых начальных

% условиях

%%xf=A*x+B*1;

ЗАНЯТИЕ № 8

Компьютерное моделирование траекторий движения двухзвенного манипулятора

При перегрузке тарно-штучных грузов на складских территориях порта довольно часто в технологической цепочке применяются vfпромышленные роботы. Простейшими из них являются двухзвенные роботы-манипуляторы, обеспечивающие перемещение груза от транспортного средства на конвейерную линию или другой объект.

В этой главе рассматриваются математические модели и программное обеспечение для оптимизации параметров двухзвенных манипуляторов в инверсной постановке задачи, когда исходными данными являются траектории рабочего движения "руки" манипулятора, а выходом модели – наилучшим способом выбранные размеры звеньев.

Пусть робот - манипулятор имеет кинематическую схему, приведенную на рис.2.1. В приведенной схеме:

- звенья манипулятора;

○ - шарнирные соединения;

- захват манипулятора;

- расстояние от центра захвата до оси абсцисс.

Необходимо сконструировать робот - манипулятор, в котором траектория движения груза была бы параллельна оси х, при значении и выполнении табличных значений (табл.2.1) в трех точках траектории.

Таблица 2.1

Заданные параметры движения

i 1 2 3

1,0 1,2 2,0



Целью проектирования является определение параметров:.

Для решения задачи введем дополнительные переменные и . Для точки i = 1 запишем соотношения:

;(2.1)

.(2.2)

Из ∆ABCвыполняется равенство: .(2.3)

Подставив в выражение (2.3) значения и из (2.1) и (2.2), получим:

(2.4)

После преобразования (2.4) получим:

(2.5)

В окончательном виде запишем:

.(2.6)

Введем обозначения:

;

; (2.7)

.

Преобразуя (2.7) получим:

(2.8)

Для i-тых точек траектории составим систему уравнений:

, где i = 1, 2, 3.(2.9)

Систему уравнений (2.9) можно представить в матричном виде:

A*K = YV(2.10)

где:

,,.

Решением системы уравнений (2.10) в среде MATLAB будет:

или (2.11)

Расчет траектории движения груза связан с выполнением программы

.

Из рис.2.1 видно, что при движении по заданной траектории при:

(2.12)

выполняется условие:

,(2.13)

поэтому:

(2.14)

Поскольку: , то угол будет соответствовать:

(2.15)

Решение поставленной задачи в среде MATLAB в режиме прямых вычислений.

Пример 2.1

>>fi=[20 45 60];

>>si=[1.0 1.2 2.0];

>> fi1=fi*(pi/180);%Перевод угла "" в радианы.

>>yv=si.^2%Вектор выхода.

yv =%Результат вычислений.

1.0000 1.4400 4.0000

>> A=[si'.*cos(fi1)' sin(fi1)' -ones(3,1)]%Определение матрицы А.

А=%Результат вычислений.

0.9397 0.3420 -1.0000

0.8485 0.7071 -1.0000

1.0000 0.8660 -1.0000

>> K=inv(A)*yv'%Расчет вектора К.

K =

12.3903

4.2991

12.1135

>> a1=K(1)/2

a1 =

6.1952

>> a3=K(2)/(2*a1)

a3 =

0.3470

>> a2=sqrt(a1^2+a3^2-K(3))

a2 =

5.1368

Для выполнения расчетов и построения траекторий движения элементов манипулятора, составим программу в режиме редактора.

Лабораторная работа № 1. "Расчет элементов манипулятора и построение траекторий движения при перемещении груза параллельно оси абсцисс"

Цель работы.

По программе файла pt1.m:

1.Определить размеры звеньев робота-манипулятора и высоту захвата груза.

2.Построить траектории движения элементов манипулятора в зависимости от плавного изменения угла поворота робота.

3.Построить положения звеньев манипулятора в зависимости от заданных углов поворота робота.

Вариант № 1.

% File pt1.m

fi=[20 45 60]%Исходные значения угла поворота.

%fi=[60 45 20]%Знак " % " в начале строки означает комментарий (не %исполняемый программой текст).

si=[1.0 1.2 2.0] %Исходные значения положения захвата груза.

%si=[2.0 1.2 1.0]

fi1=fi*(pi/180); %Перевод угла в радианы.

yv=si.^2

x2=fi;

A=[si'.*cos(fi1)' sin(fi1)' -ones(3,1)]

K=inv(A)*yv'

a1=K(1)/2%Определение параметров манипулятора.

a3=K(2)/(2*a1)

a2=sqrt(a1^2+a3^2-K(3))

%Построение траекторий движения элементов %манипулятора.

fi=20:0.5:60;%Начальные и конечные значения угла с шагом 0,5.

fi1=fi*(pi/180);

fi2=pi/2-fi1+acos((a1*sin(fi1)-a3)/a2); %Расчетугла.

x1=a1*cos(fi1)-a2*cos(pi-fi1-fi2); %Расчеткоординат X и Y.

y1=a1*sin(fi1)-a2*sin(pi-fi1-fi2);

plot(fi,x1,'m-',fi,y1,fi,fi2,'k--',fi,fi1,'k'),grid%Графиктраекторийдвижения legend('si','a3','fi2','fi1',0)%элементовманипулятора.

hx=xlabel('fi,grad');

holdon;%Управление сохранением текущего

%графического окна (включение сохранения графика)

plot(x2,si,'ro')%Ввод в график красных кружков.

pause

holdoff;%Выключение сохранения графика.

%Построение координат положений звеньев манипулятора.

fi=[20 45 60];

%fi=[60 45 20];

fi1=(pi/180).*fi;

x=[0 a1*cos(fi1(1)) si(1)];%Координаты

y=[0 a1*sin(fi1(1)) a3];%положений

xa=[0 a1*cos(fi1(2)) si(2)];%звеньев

ya=[0 a1*sin(fi1(2)) a3]; %манипулятора.

xb=[0 a1*cos(fi1(3)) si(3)];

yb=[0 a1*sin(fi1(3)) a3];

plot(x,y,x,y,'*',xa,ya,xa,ya,'*',xb,yb,xb,yb,'*'),axis([0 6 0 6]),grid

xlabel('X')

ylabel('Y')

Для решения предлагаются 15 вариантов задания исходных данных, приведенные в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Варианты заданий для лаб. работы № 1

№ Варианта fi si axis

1 [20 45 60] [1.0 1.2 2.0] [0 6 0 6]

2 [20 45 60] [1.0 1.2 2.0] [0 4 0 4]

3 [60 45 20] [1.0 1.2 2.0] [0 6 0 6]

4 [60 45 20] [1.0 1.2 2.0] [0 4 0 4]

5 [10 45 60] [1.0 1.2 2.0] [0 7 0 6]

6 [20 45 60] [2.0 2.2 4.0] [0 10 0 8]

7 [20 45 60] [2.0 2.3 3.5] [0 15 0 15]

8 [20 40 60] [2.0 2.1 4.5] [0 10 0 10]

9 [20 50 60] [2.0 2.1 4.5] [0 8 0 8]

10 [20 50 60] [2.0 2.1 3.5] [0 8 0 8]

11 [20 50 60] [2.0 2.3 3.5] [0 9 0 9]

12 [20 50 60] [4.5 2.3 2.0] [0 7 0 7]

13 [20 40 60] [4.5 2.3 2.0] [0 5 0 5]

14 [20 50 60] [4.5 2.5 2.0] [0 5 0 5]

15 [20 45 60] [4.5 2.5 2.0] [0 7 0 7]

Выполнение программы возможно в режиме Редактора: пункт меню Отладка (Debug) Запуск (Run), либо в Командном Окне (CommandWindow): набрать: >> pt1, затем нажать Enter.

Результаты решения задачи для первого варианта.

fi =

20 45 60

si =

1.0000 1.2000 2.0000

yv =

1.0000 1.4400 4.0000

A =

0.9397 0.3420 -1.0000

0.8485 0.7071 -1.0000

1.0000 0.8660 -1.0000

K =

12.3903

4.2991

12.1135

a1 =6.1952; a3 =0.3470; a2 = 5.1368;

Нажимаем любую клавишу на клавиатуре и получаем рис.2.3.



Рис.2.3 График положений звеньев манипулятора

В окне Редактора в файле pt1.m вводим значения для второго варианта, сохраним файл pt1.m со значениями второго варианта. Затем в пункте меню "Отладка" выполним команду "Запуск". Либо в Командном Окне выполняем программу с новыми значениями, предварительно в Командном Окне выполняем команду: "CLC" (очистка экрана).

Лабораторная работа № 2. "Компьютерное моделирование положений двухзвенного робота - манипулятора по любой заданной траектории движения выходных координат"

Рассмотрим кинематическую схему манипулятора, приведенную на рис.2.4.



Пусть заданны:

- длины плеч звеньев манипулятора;

(x,y)-координаты захвата манипулятора при движении груза.

Необходимо определить углы: .

Из ∆ОВC по теореме Пифагора длина стороны ОВ имеет значение .

Для решения поставленной задачи, используя теорему косинусов, из выражений (2.16) и (2.20) определяем углы . Углы находим по выражениям (2.18), (2.19).

;(2.16)

;(2.17)

;(2.18)

;(2.19)

;(2.20)

.(2.21)

Из рис.2.4 определяем значения текущих координат траектории движения груза:

;(2.22)

.(2.23)

Расчет положений двухзвенного робота – манипулятора по заданной траектории движения выходных координат в среде MATLAB выполним в лабораторной работе № 2.

Лабораторная работа №2

Цель работы.

По программе файла pt2.m:

1.Произвести расчеты значений углов α и β расположения звеньев робота-манипулятора, используя заданные координаты захвата груза x и y.

2.Рассчитать координаты пяти положений звеньев манипулятора.

3.Построить график пяти положений звеньев двухзвенного манипулятора.

%File pt2.m

ZA=[9 7 5 3 1;1 3 5 7 9]%Вариант 1. Матрица .

%Заданная траектория движения груза в %координатах (x,y).

a1=6.1952;a2=5.1368;%Заданная длина плеч звеньев %манипулятора.

ZB=ZA.^2;%Поэлементное возведение в квадрат

%матрицы ZA ().

ZC=sum(ZB);%Вектор суммы квадратов элементов матрицы ZB.

S=ZC.^0.5;%Поэлементное возведение вектора ZC в степень 0,5.

SK=S.^2;%Поэлементное возведение вектора S в квадрат.

V=ZA(2,:)./ZA(1,:);%Вектор поэлементного деления значений %координат у на х матрицы ZA.

alf2=atan(V); %Расчет значений угла α2.

ch=a1^2-a2^2+SK; %Расчет значений вектора ch.

zn=2*a1.*S; %Расчет значений вектора zn.

alf1=acos(ch./zn); %Расчет по теореме косинусов значений угла α1.

alf=alf1+alf2; %Расчет значений угла α.

ch1=a1^2+a2^2-SK; %Расчет значений вектора ch1.

zn1=2*a1*a2; %Расчет числа zn1.

bet=acos(ch1./zn1); %Расчет по теореме косинусов значений угла β.

alfg=(180/pi)*alf; %Значения угла α в радианах.

betg=(180/pi)*bet; %Значения угла β в радианах.

[alfg;betg] %Матрица значений углов α и β.

x=a1*cos(alf)+a2*cos(pi-alf-bet); %Расчет выходных координат х и у

y=a1*sin(alf)-a2*sin(pi-alf-bet); %траекторийдвижениягруза.

[x;y] %Матрица значений координат х и у.

X=[zeros(1,5) a1*cos(alf) x]; %Расчет координат X,Y звеньев траекторий

Y=[zeros(1,5) a1*sin(alf) y]; %движения манипулятора.

W=[X;Y] %Матрица элементов манипулятора в координатах х и у.

R1=[W(:,1) W(:,6) W(:,11)] %Матрицы [2*3] координат х и у, для трех

R2=[W(:,2) W(:,7) W(:,12)] %точек звеньев манипулятора

R3=[W(:,3) W(:,8) W(:,13)] %(начало 1-го звена, конец 1-го начало

R4=[W(:,4) W(:,9) W(:,14)] %2-го звеньев, конец 2-го звена) и для

R5=[W(:,5) W(:,10) W(:,15)] %5-ти положений звеньев манипулятора.

plot(R1(1,:),R1(2,:),R1(1,:),R1(2,:),'*',R2(1,:),R2(2,:),...

R2(1,:),R2(2,:),'*',R3(1,:),R3(2,:),R3(1,:),R3(2,:),'*',...

R4(1,:),R4(2,:),R4(1,:),R4(2,:),'*',R5(1,:),R5(2,:),...

R5(1,:),R5(2,:),'*'),grid %Построение графика.

Результаты решения в среде MATLAB.

Вариант 1.

ZA =

9 7 5 3 1 %Значения заданной траектории движения

1 3 5 7 9 %груза в координатах х,y.

ans =

39.4384 65.3175 89.9613 108.9203 116.7581 %Матрица углов α

105.7092 83.8965 76.5841 83.8965 105.7092 %и β в радианах.

ans =

9.0000 7.0000 5.0000 3.0000 1.0000 %Матрица координат х,у.

1.0000 3.0000 5.0000 7.0000 9.0000

W =

Columns 1 through 7

0 0 0 0 0 4.7846 2.5871

0 0 0 0 0 3.9355 5.6292

Columns 8 through 14

0.0042 -2.0088 -2.7892 9.0000 7.0000 5.0000 3.0000

6.1952 5.8605 5.5318 1.0000 3.0000 5.0000 7.0000

Column 15

1.0000 %Матрица 5-ти положений звеньев манипулятора

9.0000 %в координатах X и Y.



Рис. 2.5 График положений двухзвенного манипулятора

Таблица 2.3

Варианты заданий для лаб. работы № 2

№ Варианта задания ZA

1 [4.8 6.4 7 6.4 4.8; -4.2 -2.4 0 2.4 4.2]

2 [4.8 6.4 7 6.4 4.8; -4.2 -2.4 0 2.4 4.2]

3 [3.2 6.4 7 6.4 3.2; -4.3 -2.0 0 2.0 4.3]

4 [2.4 5 6 5 3.6; -9.1 -4 0 4 7]

5 [1.3 1.6 3.2 4.8 6.4; 8.9 8.8 8.4 7.4 5.5]

6 [0.5 2.6 3.2 4.8 5.4; -7.9 -6.8 0.4 3.4 1.5]

7 [1.5 1.6 2.2 3.8 4.4; 0.9 1.8 2.4 3.4 5.5]

8 [2.3 3.6 4.2 6.8 8.4; 7.9 6.8 5.4 3.4 1.5]

9 [1 2 3 6 7; 8 6 4 2 0.5]

10 [8.5 6.6 2.2 1.8 0.4; 8.9 5.8 0.4 -3.4 -1.5]

11 [5.8 6.4 7.5 6.4 4.8; -4.2 -2.4 0 2.4 4.2]

12 [-3.2 -6.4 -7 -6.4 -3.2; 7.3 4.0 0 -2.0 -4.3]

13 [-1.4 -5.7 -6.4 -5 -2.6; -9.1 -4 0 4 7]

14 [-1.5 -1.6 -2.2 -3.8 -4.4; -0.9 -1.8 -2.4 -3.4 -5.5]

15 [5.8 6.4 7.5 6.4 4.8; -0.9 -1.8 -2.4 -3.4 -5.5]

%Матрицы координат X,Y:

R1 =

0 4.7846 9.0000 %для 1-го положения звеньев а1, а2.

0 3.9355 1.0000

R2 =

0 2.5871 7.0000 %для 2-го положения звеньев а1, а2.

0 5.6292 3.0000

R3 =

0 0.0042 5.0000 %для 3-го положения звеньев а1, а2.

0 6.1952 5.0000

R4 =

0 -2.0088 3.0000 %для 4-го положения звеньев а1, а2.

0 5.8605 7.0000

R5 =

0 -2.7892 1.0000 %для 5-го положения звеньев а1, а2.

0 5.5318 9.0000

3. Оптимизация параметров звеньев робота - манипулятора с помощью метода наименьших квадратов.

Применение двухзвенных манипуляторов связанно со значительным уменьшением стоимости устройств, упрощением процесса их обслуживания во время эксплуатации. Рассмотримдвухзвенный манипулятор, кинематическая схема которого представлена на рис.3.1.



Предположим, что манипулятор должен перемещать груз m по оси абсцисс, в диапазоне изменения угла , при этом необходимо определить величину звеньев манипулятора а1 и а2.

Из рис.3.1 видно, что расстояние до груза m, определяется равенством:

.(3.1)

Назовем Smi аппроксимируемой траекторией перемещения груза и обозначим:

(3.2)

Предположим, что по техническим условиям действительная траектория перемещения груза соответствует закону:

,(3.3)

где заданная траектория движения груза.

Задача оптимизации сводится к определению параметров a1 и a2 при обеспечении минимума среднеквадратичной ошибки, представленной в виде критерия качества:

(3.4)

или по методу наименьших квадратов:

,(3.5)

где n число измерений.

Для решения задачи параметрической оптимизации численными методами необходимо выбрать шаг дискретности для угла φ. Например, угол φ можно задать в виде вектора:

φi1 = 0o : 5o : 90o (шаг дискретизации равен 5o ) или

(в радианах).

Исходя из рис.3.1., при равенстве Sm = xd, по теореме косинусов, можно записать:

.(3.6)

Преобразовав (3.6), получаем:

(3.7)

или

,(3.8)

где .

Поскольку А и В постоянные коэффициенты, то уравнение (3.8) для каждого i-ого элемента вектора φi1 в линейном виде можно записать в виде матричного выражения:

Y = Hd, где(3.9)

, ,

d - матрица постоянных коэффициентов, H' - транспонированная матрица, составленная из единиц и значений Vi:

Vi = 2*xdi*cosi,i = 1, 2, … , n..(3.10)

Наилучшая оценка звеньев манипулятора a1 и a2 определяется с помощью соотношения:

. (3.11)

Преобразуя (3.11), получаем:

. (3.12)

Из выражения (3.12) следует, что

, ,(3.13) которые и подставляются в значение Sm.

В среде MATLAB параметрическая оптимизация сводится к нахождению нормы разности векторов xd и Sm:

, (3.14)

где K - размерность i-ого изменения угла φ.

Линейный метод наименьших квадратов параметрической оптимизации приведен в файле pt3.m.

Лабораторная работа №3."Линейный метод оптимизации параметров звеньев робота - манипулятора с помощью метода наименьших квадратов"

Цель работы.

1.Определить размерность матрицы дискретного изменения угла перемещения звена а1 манипулятора.

2.Рассчитать параметры оптимальной оценки звеньев манипулятора а1, а2 по линейному методу наименьших квадратов с определением параметров матриц H,Y и d.

3.Рассчитать значения матрицы U векторов xd и Sm – заданной и аппроксимируемой траекторий перемещения груза.

4.Рассчитать значение эвклидовой нормы V разности векторов xd и Sm.

5.Построить график зависимостей i Smi и xdi – аппроксимируемой и заданной траекторий движения груза в диапазоне изменения угла манипулятора .

%File pt3.m

fi1=0:5:90;%Вектор изменения угла φ в градусах.

fi=(pi/180)*fi1;%Вектор изменения угла φ в радианах.

xd=1+(cos(fi)).^2;%Вектор заданной траектории перемещения груза.

%Вариант 1.

K=size(fi1)%Определение размеров матрицы.

K1=K(2)% К1 = 19.

H=[ones(K(2),1) (2*xd.*cos(fi))']%Матрица состоящая из единиц

%1-го столбца и (2*xd.*cos(fi)) 2-го %столбца.

Y=[xd.^2]'%Элементы вектора заданной траектории, %возведенные в квадрат.

d=(inv(H'*H))*H'*Y%Наилучшая оценка, используемая для %нахождения оптимальных значений а1 и а2.

a1=d(2);

a2=sqrt(d(1)+d(2)^2);

sm=a1*cos(fi)+sqrt(a2^2-(a1*sin(fi)).^2);%Вектортраектории %аппроксимации.

U=[xd;sm]%Матрица векторов xd, Sm.

V=norm(xd-sm)/K(2)%Эвклидова норма разности векторов xd и Sm

plot(fi1,xd,'*',fi1,sm,fi1,sm,'.'),grid%График зависимостей:

%xd = f(φi), Sm= f(φi).

a=[a1 a2]%Размер звеньев а1 и а2.

Решение файла можно получить следующим образом: либо в окне Редактора "Отладка" ==> "Выполнить". Либо вызвав файл pt3 в Командном Окне.

Решение первого варианта задания.

K =

19

K1 =

19

H =

1.0000 4.0000

1.0000 3.9696

1.0000 3.8798

1.0000 3.7343

1.0000 3.5389

1.0000 3.3015

1.0000 3.0311

1.0000 2.7376

1.0000 2.4312

1.0000 2.1213

1.0000 1.8167

1.0000 1.5246

1.0000 1.2500

1.0000 0.9962

1.0000 0.7641

1.0000 0.5523

1.0000 0.3578

1.0000 0.1756

0.0000

Y =

4.0000

3.9697

3.8803

3.7365

3.5458

3.3175

3.0625

2.7923

2.5180

2.2500

1.9971

1.7662

1.5625

1.3891

1.2476

1.1385

1.0612

1.0152

1.0000

d =

0.7032

0.7936



Рис.3.2 График зависимостей Smiи xdi – аппроксимируемой и заданной траекторий движения груза в диапазоне изменения угла .

U =

Columns 1 through 7

2.0000 1.9924 1.9698 1.9330 1.8830 1.8214 1.7500

1.9482 1.9431 1.9279 1.9027 1.8680 1.8240 1.7715

Columns 8 through 14

1.6710 1.5868 1.5000 1.4132 1.3290 1.2500 1.1786

1.7111 1.6437 1.5702 1.4917 1.4093 1.3245 1.2385

Columns 15 through 19

1.1170 1.0670 1.0302 1.0076 1.0000

1.1528 1.0687 0.9876 0.9106 0.8385

V =

0.0148

a =

1.1546

Таблица 3.1

Варианты заданий для л.р. № 3

№ Варианта задания xd

1 1+(cos(fi)).^2

2 1+(sin(fi)).^2

3 1+(cos(fi)).^3+(cos(fi)).^2

4 -0.7520*fi+2.0904

5 1.7*fi+1.4

Кроме линейной оценки возможно решение задачи с помощью нелинейного метода наименьших квадратов.

Введем дополнительные ограничения на параметры а1 и а2:

;.

Для определения наилучших значений параметров а1 и а2 воспользуемся решением нелинейной оптимизационной задачи с помощью функции "lsqcurvefit", содержащейся в каталоге "Оптимизация" среды MATLAB.

Составим два файла: pt31.m - основной файл программы и pt32.m – файл-функция. Файл pt32.m является дополнительной функцией для файла pt31.m

%Filept32.m

functionf=pt32(x,fi);%Описаниефункцииf (a, φ).

f=x(1)*cos(fi)+sqrt(x(2)^2-(x(1)*sin(fi)).^2); %Функциональнаязависимость

%траектории аппроксимации

%приx(1) = a1, x(2) = a2.

Лабораторная работа №3а. "Нелинейный метод оптимизации параметров звеньев робота - манипулятора с помощью метода наименьших квадратов"

Цель работы.

1. Определить размерность матрицы дискретного изменения угла

перемещения звена а1 манипулятора.

2. Рассчитать значения матрицы U векторов xd и sm – заданной и аппроксимируемой траекторий перемещения груза.

3. Рассчитать значение V – нормы разности векторов xd и sm.

4. Рассчитать оптимальные параметры звеньев а1 и а2 манипулятора.

5. Построить график зависимостей smi и xdi – аппроксимируемой и заданной траекторий движения груза в зависимости от угла поворота манипулятора.

%Filept31.m

fi1=0:5:90;

fi=(pi/180)*fi1;

y=1+(cos(fi)).^2; %Вектор заданной траектории движения груза.

%Вариант 1.

%y=-0.7520*fi+2.0904;%Вариант 2.

%y=1+(cos(fi)).^3;%Вариант 3.

K=size(fi)%Определение размерности матрицы.

veb=[0.1 0.1];vub=[10 10];%Нижние и верхние ограничения на

%параметры а1 и а2.

x=lsqcurvefit('pt32',[0.1 0.1],fi,y,veb,vub);%Оптимальная оценка

%коэффициентов а1 и а2.

z=x(1)*cos(fi)+sqrt(x(2)^2-(x(1)*sin(fi)).^2); %Вектор траектории

%аппроксимации при z = Sm.

U=[y;z]%Матрица векторов у = xd и z = Sm.

V=(norm(y-z))/K(2)%Норма разности векторов xd-Sm.

plot(fi1,z,fi1,y,'*'),grid%График зависимостей xd = f(φi), Sm= f(φi).

x=[x(1) x(2)]%Размер звеньев а1 и а2.

Решение первого варианта задания в среде MATLAB.

K =

19

Optimization terminated successfully:

Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun

U =

Columns 1 through 7

2.0000 1.9924 1.9698 1.9330 1.8830 1.8214 1.7500

1.9333 1.9284 1.9136 1.8892 1.8554 1.8127 1.7617

Columns 8 through 14

1.6710 1.5868 1.5000 1.4132 1.3290 1.2500 1.1786

1.7031 1.6376 1.5662 1.4900 1.4101 1.3278 1.2443

Columns 15 through 19

1.1170 1.0670 1.0302 1.0076 1.0000

1.1610 1.0792 1.0002 0.9250 0.8545

V =

0.0145

x =

0.7778 1.1555



Рис.3.5 График зависимостей xd = f(φi), Sm= f(φi) для нелинейного метода оптимизации параметров.

4. Построение траекторий звеньев робота - манипулятора сиспользованием кубических полиномов (сплайнов).

Для получения законов управления техническими системами зачастую применяются кубические сплайны. Интерполяционные процедуры, основанные на использовании кубических сплайнов, широко используются также в компьютерных системах управления технологическими процессами. Кубические сплайны, обладающие рядом "природных" свойств, например, свойством минимальной кривизны, равенством первых производных от функции ( справа и слева от узлов интерполяции ), позволяют обеспечивать высокое качество приближения кривых по небольшому числу экспериментальных данных. Сплайн аппроксимации дают возможность получать "гладкие" интерполяционные функции, по которым могут быть оценены текущие значения функции между узлами интерполяции для соответствующих элементов.

Если экспериментальные данные заданы в виде n пар измерений (x,y), то для интерполяции функции можно использовать (n-1) кубических полиномов (сплайнов).

Каждый полином имеет вид:

, (4.1)

где; i = 1, 2, 3 …, n – 1.

Коэффициенты ai, bi и ci определяются при соблюдении трех условий:

1.Полином должен проходить через точки на концах xi и xi+1.

2.Наклоны полиномов должны быть равны слева и справа от узла интерполяции.

Должно соблюдаться условие минимума кривизны.

Предположим, что экспериментальные данные представлены таблицей 4.1.

Таблица 4.1

Значения экспериментальных данных

x 7 9 11 12

y 49 57 71 75

В результате сложных расчетов коэффициентов ai, bi и ci, получаем полиномы (сплайны):

для :

;

для :

;

для :

.

Эти же полиномы (сплайны) легко можно получить в среде MATLAB с помощью команды "spline".

Еёсинтаксис:

y_int = spline (x, y, x_int),

где: x и y - векторы, содержащие данные таблицы;

x_int - вектор интерполяции аргумента;

y_int - вектор значений интерполяции функции.

Выполним интерполяцию функции с помощью сплайнов в среде MATLAB для рассматриваемого примера в Командном Окне:

>> x=[7 9 11 12];%Время (в часах).

>> y=[49 57 71 75];%Температура (в градусах).

>>x_int=[7:0.01:12]; %Вектор значений аргумента.

>>y_int=spline(x,y,x_int); %Вектор значений функции.

>> [breaks,coeffs,m,n]=unmkpp(spline(x,y)) %Матрица коэффициентов

%полиномов размерности m*n.

Решение.

breaks =

7 9 11 12

coeffs =

-0.3500 2.8500 -0.3000 49.0000

-0.3500 0.7500 6.9000 57.0000

-0.3500 -1.3500 5.7000 71.0000

m =%Число строк.

3

n =%Число столбцов.

4

>>plot(x,y,'O',x,y,'--',x_int,y_int),grid% Построениеграфика



Рис.4.1 График экспериментальной траектории и траектории сплайна.

Рассмотрим две схемы промежуточных положений робота-манипулятора:

Рис.4.2 Схема № 1 промежуточного положения робота – манипулятора.



Рис.4.3 Схема № 2промежуточного положенияробота – манипулятора.

Пусть заданы величины звеньев L1, L2.

Необходимо определить углы α1, α2, Θ1, Θ2, а также величину R.

На схеме рис.4.2 α2 имеет положительные значения, а на схеме рис.4.3 – отрицательные значения. Углы Θ1 и Θ2 введены для вспомогательных построений. Используя для схемы рис.4.2 теорему косинусов, запишем:

, (4.2)

т.к. , получим:

. (4.3)

Используя x и y как координаты "руки R" манипулятора, запишем:

R2 = x2 + y2. (4.4)

Для определения угла Θ2, по теореме косинусов запишем:

. (4.5)

Очевидно, что Θ1 = arctg(y/x).

Из рис.4.2 следует: α1 = Θ1 - Θ2, если α2 > 0.

Из рис.4.3 следует: α1 = Θ1 + Θ2 , если α2 < 0.

Произведем проверку полученных теоретических соотношений для построения траекторий двухзвенного робота – манипулятора c использованием формирования линейного массива узлов для заданного закона изменения выходных координат, а также с использованием сплайнов.

Лабораторная работа №4."Построение траекторий звеньев манипулятора с формированием линейного массива узлов для заданного закона изменения выходных координат"

Цель работы:

Рассчитать количество промежуточных узлов "n" изменений манипулятора.

Cформировать линейный массив "x" равноотстоящих узлов и закон изменения выходных координат "y".

Рассчитать в радианах значения углов α1, α2, Θ1, Θ2 изменений звеньев манипулятора.

Рассчитать матрицу координат положений звеньев манипулятора.

5. Построить график траекторий движения звеньев манипулятора.

% File pt4.m.

% Manipulator's trajectories.%Траекториизвеньевманипулятора.

L1=4.25; L2=3.50; %Варианты размеров звеньев манипулятора.

x0=6.5; y0=0; xf=0; yf=6.5;%Варианты диапазона изменения начальных и конечных координат захвата.

n=3%Количество узлов манипулятора.

%==================================

x=linspace(x0,xf,n+2)%Формирование линейного массива

%от x до xf для (n + 2) равноотстоящих %узлов.

%-------------------------------------

y=((yf-y0)/(xf-x0))*(x-x0)+y0%Варианты законов изменения выходных %координат.

%-------------------------------------

R=sqrt(x.^2+y.^2); %Расстояние между началом и концом %звеньев манипулятора.

alf2=acos((R.^2-L1^2-L2^2)/(2*L1*L2));%Расчет угла α2.

tet1=atan2(y,x);%Расчет угла Θ1.

tet2=acos((R.^2+L1^2-L2^2)./(2*L1*R));%Расчет угла Θ2.

if alf2<0%Проверка условия α2 < 0.

alf1=tet1+tet2;%Расчет угла α1 при выполнении

условия α2 < 0.

else

alf1=tet1-tet2;%Расчет угла α1 при не выполнении

условия α2 < 0.

end %Конец цикла.

tet1

tet2

alf1

alf2

%===================================================

xv=L1*cos(alf1);%Расчет координат (x1, y1) соединения

yv=L1*sin(alf1);%звеньев.

zx=[zeros(n+2,1) xv' x'];%Матрицы координат пяти положений

zy=[zeros(n+2,1) yv' y'];%звеньев манипулятора.

X=zx'

Y=zy'

plot(x,y,'o',xv,yv,'o',X,Y,0,0,'*'),grid %Построение графика

axis([-1 7 -3 7]);xlabel(' X , m ');ylabel(' Y , m ') % тректорий

%звеньев робота – манипулятора с

%формированием линейного массива узлов.

Таблица 4.2

Исходные данные для лабораторных работ № 4, 5

№ Варианта L1 L2 x0 y0 xf yf y

1 4.25 3.50 6.5 0 0 6.5 ((yf-y0)/(xf-x0))*(x-x0)+y0

2 4.25 3.50 6 0 0 4 [0 3 5 6 6.5]

3 4 3 6.5 0 0 6.5 ((yf-y0)/(xf-x0))*(x-x0)+y0

4 4 3 6 0 0 4 [0 3 5 6 6.5]

Решение варианта задания № 1.

n =

3

x =

6.5000 4.8750 3.2500 1.6250 0

y =

0 1.6250 3.2500 4.8750 6.5000

tet1 =

0 0.3218 0.7854 1.2490 1.5708

tet2 =

0.5158 0.7412 0.8100 0.7412 0.5158

alf1 =

-0.5158 -0.4195 -0.0246 0.5078 1.0550

alf2 =

1.1579 1.7025 1.8848 1.7025 1.157

X =

0 0 0 0 0

3.6971 3.8815 4.2487 3.7137 2.0961

6.5000 4.8750 3.2500 1.6250 0

Y =

0 0 0 0 0

-2.0961 -1.7310 -0.1045 2.0666 3.6971

0 1.6250 3.2500 4.8750 6.5000



Рис.4.4 График траекторий звеньев робота – манипулятора

Лабораторная работа №5. "Построение траекторий движения звеньев манипулятора с использованием сплайнов"

Цель работы:

Рассчитать в радианах значения угловα1, α2, Θ1, Θ2 изменений

звеньев манипулятора.

Рассчитать матрицы сплайновых координат положений звеньев

манипулятора.

Рассчитать матрицы координат основного массива.

4. Построить график сплайновых траекторий движения звеньев

манипулятора.

%File pt5.m.

% Spline manipulator's trajectories.

L1=4.25%Комментарии к файлу pt5.m аналогичны %комментариям к файлу pt4.m

L2=3.50

x0=6.5; y0=0; xf=0; yf=6.5;

n=3

x=linspace(x0,xf,n+2)

y=((yf-y0)/(xf-x0))*(x-x0)+y0

%Расчет параметров манипулятора.

R=sqrt(x.^2+y.^2);

alf2=acos((R.^2-L1^2-L2^2)/(2*L1*L2));

tet1=atan2(y,x);

tet2=acos((R.^2+L1^2-L2^2)./(2*L1*R));

if alf2<0

alf1=tet1+tet2;

else

alf1=tet1-tet2;

end

tet1

tet2

alf1

alf2

%Расчет траекторий звеньев манипулятора с использованием сплайнов.

t1=linspace(0,2,n+2); %Линейный массив между двух точек для (n+2) узлов

t=linspace(0,2,20); %То же для 20 узлов.

alfs1=spline(t1,alf1,t); %Расчет массива углов альфа1 и альфа2 с

alfs2=spline(t1,alf2,t); %использованием сплайнов.

xs=L1*cos(alfs1)+L2*cos(alfs1+alfs2); %Расчет сплайновых координат

ys=L1*sin(alfs1)+L2*sin(alfs1+alfs2); % x и y перемещения груза.

xvs=L1*cos(alfs1); %Расчет сплайновых координат xv и yv,

yvs=L1*sin(alfs1); %cвязующих звенья манипулятора.

p=size(yvs); %Размерность матрицы.

Axvs=[zeros(p(2),1) xvs' xs']; %Матрицы сплайновых координат

Ayvs=[zeros(p(2),1) yvs' ys']; %звеньев манипулятора.

Xa=Axvs'

Ya=Ayvs'

xv=L1*cos(alf1); %Расчет координат xv и yv

yv=L1*sin(alf1); %основного массива.

zx=[zeros(n+2,1) xv' x']; %Расчет координат звеньев манипулятора

zy=[zeros(n+2,1) yv' y']; %основного массива.

X=zx'

Y=zy'

plot(xs,ys,'.',x,y,'o',xvs,yvs,'.',xv,yv,'o',X,Y,Xa,Ya),grid

axis([-1 7 -3 7]);xlabel(' X , m ');ylabel(' Y , m ');

Решение варианта задания № 1.

L1 =

4.2500

L2 =

3.5000

n =

3

x =

6.5000 4.8750 3.2500 1.6250 0

y =

0 1.6250 3.2500 4.8750 6.5000

tet1 =

0 0.3218 0.7854 1.2490 1.5708

tet2 =

0.5158 0.7412 0.8100 0.7412 0.5158

alf1 =

-0.5158 -0.4195 -0.0246 0.5078 1.0550

alf2 =

1.1579 1.7025 1.8848 1.7025 1.1579

Xa =

Columns 1 through 7

0 0 0 0 0 0 0

3.6971 3.6695 3.6827 3.7322 3.8102 3.9067 4.0102

6.5000 6.1732 5.8349 5.4887 5.1384 4.7873 4.4383

Columns 8 through 14

0 0 0 0 0 0 0

4.1080 4.1879 4.2380 4.2484 4.2113 4.1212 3.9751

4.0934 3.7531 3.4170 3.0834 2.7496 2.4118 2.0671

Columns 15 through 20

0 0 0 0 0 0

3.7728 3.5170 3.2128 2.8681 2.4922 2.0961

1.7143 1.3550 0.9939 0.6391 0.3027 0.0000

Ya =

Columns 1 through 7

0 0 0 0 0 0 0

-2.0961 -2.1441 -2.1213 -2.0330 -1.8827 -1.6733 -1.4075

0 0.3017 0.6388 0.9943 1.3555 1.7141 2.0662

Columns 8 through 14

0 0 0 0 0 0 0

-1.0893 -0.7240 -0.3190 0.1164 0.5723 1.0385 1.5037

2.4107 2.7488 3.0833 3.4168 3.7525 4.0927 4.4379

Columns 15 through 20

0 0 0 0 0 0

1.9566 2.3861 2.7821 3.1364 3.4426 3.6971

4.7873 5.1385 5.4888 5.8348 6.1731 6.5000

X =

0 0 0 0 0

3.6971 3.8815 4.2487 3.7137 2.0961

6.5000 4.8750 3.2500 1.6250 0

Y =

0 0 0 0 0

-2.0961 -1.7310 -0.1045 2.0666 3.6971

0 1.6250 3.2500 4.8750 6.5000

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

% Файл 'sah366.m'.

% Сплайн - траектории двухзвенного манипулятора.

%L1=4.25; L2=3.50;

% Размеры звеньев

L1=4;L2=3;

% Начальная и конечная точки траектории

x0=6.5; y0=0; xf=0; yf=6.5;

%x0=6; y0=0; xf=0; yf=4;

n=3;

%==================================

x=linspace(x0,xf,n+2); % n-число точек на линии

% (плюс 2 концевые)

%-------------------------------------

% Составление уравнения прямой линии (траектории

% движения спредера)

y=((yf-y0)/(xf-x0))*(x-x0)+y0;

%y=[0 3 5 6 6.5];

%-------------------------------------

R=sqrt(x.^2+y.^2);

alf2=acos((R.^2-L1^2-L2^2)/(2*L1*L2));

tet1=atan2(y,x);

tet2=acos((R.^2+L1^2-L2^2)./(2*L1*R));

if alf2<0

alf1=tet1+tet2;

else

alf1=tet1-tet2;

end

tet1;

alf1;

alf2;

%========================================

t1=linspace(0,2,n+2);

t=linspace(0,2,20);

alfs1=spline(t1,alf1,t);

alfs2=spline(t1,alf2,t);

xs=L1*cos(alfs1)+L2*cos(alfs1+alfs2);

ys=L1*sin(alfs1)+L2*sin(alfs1+alfs2);

xvs=L1*cos(alfs1);

yvs=L1*sin(alfs1);

p=size(yvs);

Axvs=[zeros(p(2),1) xvs' xs'];

Ayvs=[zeros(p(2),1) yvs' ys'];

Xa=Axvs';Ya=Ayvs';

xv=L1*cos(alf1);

yv=L1*sin(alf1);

zx=[zeros(n+2,1) xv' x'];

zy=[zeros(n+2,1) yv' y'];

X=zx'; Y=zy';

plot(xs,ys,'.',x,y,'o',xvs,yvs,'.',xv,yv,'o',X,Y,Xa,Ya),grid

axis([-1 7 -3 7]);xlabel(' X , m ');ylabel(' Y , m ');

%===============================================

% Polynomial coefficients for two (boundaries) points:

% for alf1(tau):

a1=2*(alf1(1)-alf1(5))*(180/pi)/2^3

b1=3*(alf1(5)-alf1(1))*(180/pi)/2^2

d1=alf1(1)*(180/pi)

% for alf2(tau):

a2=2*(alf2(1)-alf2(5))*(180/pi)/2^3

b2=3*(alf2(5)-alf2(1))*(180/pi)/2^2

d2=alf2(1)*(180/pi)



ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх



% File 'sah366a.m'.

% Manipulator's trajectories.

%L1=4.25; L2=3.50;

L1=4;L2=3;

x0=6.5; y0=0; xf=0; yf=6.5;

%x0=6; y0=0; xf=0; yf=4;

n=3;

%==================================

x=linspace(x0,xf,n+2);

%-------------------------------------

y=((yf-y0)/(xf-x0))*(x-x0)+y0;

%-------------------------------------

R=sqrt(x.^2+y.^2);

alf2=acos((R.^2-L1^2-L2^2)/(2*L1*L2));

tet1=atan2(y,x);

tet2=acos((R.^2+L1^2-L2^2)./(2*L1*R));

if alf2<0

alf1=tet1+tet2;

else

alf1=tet1-tet2;

end

tet1;

alf1;

alf2;

%============================================================

xv=L1*cos(alf1);

yv=L1*sin(alf1);

zx=[zeros(n+2,1) xv' x'];

zy=[zeros(n+2,1) yv' y'];

X=zx'; Y=zy';

plot(x,y,'o',xv,yv,'o',X,Y,0,0,'*'),grid

axis([-1 7 -3 7]);xlabel(' X , m ');ylabel(' Y , m ');

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх



Рис.4.5 График траекторий движения звеньев робота – манипулятора, построенный с использованием сплайнов.

5. Построение траектории перемещения двухзвенного робота-манипулятора с помощью элементов символьной математики.

5.1. Решение уравнений в символьной форме.

Инструментарий символьной математики в среде MATLAB позволяет получать решения широкого класса задач в символьной форме. Остановимся на символьной форме решения алгебраических, трансцендентных и тригонометрических уравнений. В режиме прямых вычислений сначала необходимо ввести символьное выражение "syms x", затем ввести функцию "solve(‘E’)", обеспечивающую решение уравнения Е в символьной форме.

Пример 5.1.

Решим алгебраическое уравнение: Х + 5 = 0.

>>syms x%Объявление символьного выражения.

>>solve ('x + 5 = 0')%Решение уравнения в символьной форме.

ans =

-5

Пример 5.2.

Решим трансцендентное уравнение: .

>>symsx

>> solve ('exp(2*x) + 3*exp(x)=54')

ans =

[ log(-9)]%Получаем два решения

[ log(6)]

Далее вычисляем:

>>log(-9)%ln (-9)

ans =

2.1972 + 3.1416i%Комплексное число

>>log(6)%ln (6)

ans =

1.7918%Действительное число

Из двух решений мы должны выбрать одно, выбираем:

x=1.7918 (действительное число).

Пример 5.3.

Решим систему уравнений:

>>s=solve('6*x+2*y=14',…

'3*x+7*y=31')

s =

x: [1x1 sym]%Одно решение для x.

y: [1x1 sym]%Одно решение для y.

>>s.x

ans =

1%x=1

>>s.y

ans =

4%y=4

Уравнения, содержащие период функции тригонометрического выражения, могут иметь бесконечное число решений. В таких случаях функция «solve» ограничивается решениями, расположенными вблизи нуля.

Пример 5.4

Решим уравнение: sin2x – cosx = 0.

>> solve ('sin(2*x)-cos(x)=0')

ans =

[ 1/2*pi]% 1,5708

[ -1/2*pi]% -1,5708

[ 1/6*pi]% 0,5236

[ 5/6*pi]% 2,6180

5.2. Позиционирование двухзвенного робота – манипулятора.

В настоящее время многие судовые краны для перегрузки контейнеров конструктивно выполнены по схеме двухзвенного робота- манипулятора (фирмы "KONE", "LIEBHERR"). Поэтому весьма актуальной является задача о точности наведения спредера и установки контейнера на грузовое место.

Рассмотрим решение задачи о позиционированиидрухзвенного робота-манипулятора, обеспечиваемом с помощью двух двигателей, расположенных в базовом узле и сочленении звеньев, путем поддержания требуемых значений углов Θ1, Θ2 в зависимости от положения "руки".

На рис.5.1 изображена кинематическая схема манипулятора, в которой заданы звенья манипулятора L1 = 4, L2 = 3 в метрах и координаты захвата груза x = 6, y = 2.



Рис.5.1 Кинематическая схема робота-манипулятора

Необходимо решить две задачи:

1.Вычислить углы Θ1 и Θ2 для заданных координат захвата.

2.Переместить захват манипулятора по прямой линии для случая, когда: х = 6 = const, и y изменяется в пределах 1… 3,6. Получить графики изменения углов Θ1 и Θ2 поворота приводов, в функции y= 1… 3,6.

Для решения первой задачи запишем систему уравнений:

(5.1)

В режиме прямых вычислений запишем решение уравнений (5.1) символьным методом:

>>S=solve('4*cos(tet1)+3*cos(tet1+tet2)=6',...

'4*sin(tet1)+3*sin(tet1+tet2)=2')

S =

tet1: [2x1 sym]%Два решения для Θ1.

tet2: [2x1 sym]%Два решения для Θ2.

>>double(S.tet1)*(180/pi) %Преобразование радиан в градусы.

ans =

-3.2981% Θ1, нижнее положение звена L1.

40.1680% Θ1, верхнее положение звена L1.

>>double(S.tet2)*(180/pi)

ans =

51.3178% Θ2, нижнее положение звена L2.

-51.3178% Θ2, верхнее положение звена L2.

Таким образом, имеем два решения:

первое решение Θ1 = - 3,2981о, Θ2 = 51,3178о (нижнее положение);

второе решение Θ1 = 40,1680о, Θ2 = -51,3178о (верхнее положение).

Для построения графика положений звеньев манипулятора в режиме прямых вычислений, составим программу:

>>xk=6; yk=2;

>> tet1=(pi/180)*40.1680;

>> tet10=(pi/180)*(-3.2981);

>> x=[0 4*cos(tet1) xk 4*cos(tet10) 0];

>> y=[0 4*sin(tet1) yk 4*sin(tet10) 0];

>>plot(x,y,x,y,'o'),grid

>>axis([-0.5 6.5 -0.5 3]);

>>xlabel('X(мм)'),ylabel(' Y(мм) ')



Рис.5.2 График положений звеньев манипулятора

Для получения графиков изменения углов поворота манипулятора, в функции ''y'', запишем программу в символьной форме в режиме прямых вычислений:

>> S=solve('4*cos(tet1)+3*cos(tet1+tet2)=6',...

'4*sin(tet1)+3*sin(tet1+tet2)=y','tet1','tet2');

>>yt=1:0.1:3.6;%Вектор изменения y.

>>v=S.tet1;%Два решения для Θ1: v(1), v(2).

>>w=S.tet2;%Два решения для Θ2: w(1), w(2).

>>tetr1=subs(v(1),'y',yt); %Одновременная выдача нескольких

>>tetr2=subs(v(2),'y',yt);%параметров в зависимости от yдля

>> tetr3=subs(w(1),'y',yt);%решений v(1), v(2), w(1), w(2).

>> tetr4=subs(w(2),'y',yt);

>>tet1r=(180/pi)*double([tetr1;tetr2]);%Преобразование израдиан в градусы %решений v(1), v(2).

>>tet2r=(180/pi)*double([tetr3;tetr4]);%Преобразование израдиан в градусы %решений w(1), w(2).

>>subplot(2,1,1)%Изображение 2-х рядов 1 колонки в %верхней части графика.

>>plot(yt,tet1r,2,-3.2981,'*',2,40.1680,'o'),grid

>>xlabel('y (m)'),ylabel(' Teta1(degrees) ')

>>subplot(2,1,2)%Изображение 2-х рядов 1 колонки в %нижней части графика.

>>plot(yt,tet2r,2,-51.3178,'o',2,51.3178,'*'),grid

>>xlabel(' y (m)'),ylabel(' Teta2 (degrees) ')



Рис.5.3 Графики изменения углов поворота манипулятора, в функции y

На основании выше изложенного, для исходных данных:



составим два файла pt6.m и pt7.m. В файле pt6.m составлена программа для вычисления и построения углов Θ1 и Θ2 . В файле pt7.m составлена программа для построения графиков изменения углов поворота звеньев манипулятора, как функции yt = 1000:20:4860.

Лабораторная работа №6. "Определение углов поворота и построение положений звеньев робота - манипулятора с помощью элементов символьной математики"

% Robotic system.

% File pt6.m

S=solve('3500*cos(tet1)+2800*cos(tet1+tet2)=4000',...

'3500*sin(tet1)+2800*sin(tet1+tet2)=3000')

double(S.tet1)*(180/pi) % Angles in degrees

double(S.tet2)*(180/pi)

xk=4000;

yk=3000; %Вариант 1.

%yk=1000; %Вариант 2.

%уk=4860; %Вариант 3.

tet1=(pi/180)*69.6996;tet10=(pi/180)*4.0402;

x=[0 3500*cos(tet1) xk 3500*cos(tet10) 0];

y=[0 3500*sin(tet1) yk 3500*sin(tet10) 0];

plot(x,y,x,y,'o'),grid

axis([0 4500 0 3500]);

xlabel('X(мм)'),ylabel(' Y(мм) ')

Решение варианта 1:

S =

tet1: [2x1 sym]

tet2: [2x1 sym]

ans =

4.0402

69.6996

ans =

75.4923

-75.4923



Рис.5.4. График изменения углов поворота звеньев робота–манипулятора.

Лабораторная работа №7. "Построение графиков положений звеньев робота –манипулятора при постоянной координате ''х'' и изменяющейся координате ''y'' захвата груза"

% Roboticsystem.

% Solutions for motor angles in terms of variable y.

% File pt7.m

S=solve('3500*cos(tet1)+2800*cos(tet1+tet2)=4000',...

'3500*sin(tet1)+2800*sin(tet1+tet2)=y','tet1','tet2');

yt=1000:20:4860;

v=S.tet1;

w=S.tet2;

tetr1=subs(v(1),'y',yt);

tetr2=subs(v(2),'y',yt);

tetr3=subs(w(1),'y',yt);

tetr4=subs(w(2),'y',yt);

tet1r=(180/pi)*double([tetr1;tetr2]);

tet2r=(180/pi)*double([tetr3;tetr4]);

subplot(2,1,1)

plot(yt,tet1r,3000,4.0402,'x',3000,69.6996,'o'),grid

xlabel('y (millimetres)'),ylabel(' Teta1(degrees) ')

subplot(2,1,2)

plot(yt,tet2r,3000,-75.4923,'o',3000,75.4923,'x'),grid

xlabel(' y (millimetres)'),ylabel(' Teta2 (degrees) ')



Рис.5.5 Графики изменения углов поворота звеньев робота–манипулятора при постоянной координате ''х'' и изменяющейсякоординате ''y''.

6. Параметрическаяоптимизацияконструкциимеханизма с подвижнымцилиндром.

Ползунково-кривошипный механизм нашел широкое применение при создании портовых погрузочных машин (автопогрузчиков), а также машин с подъемом кузова (типа самосвалов) (см. рис.6.1). Аналогичные механизмы часто применяются для раскрытия и закрытия створчатых ворот гидротехнических сооружений. Основным и самым дорогим элементом механизма являетсясиловой цилиндр, обеспечивающий возвратно-поступательные движения механизма. Проектирование цилиндра включает процедуру выбора оптимальных геометрических параметров, обеспечивающих надежную работу механизма при любом положении его частей. Под режимом высокой надежности имеются ввидутакие значения параметров, при которых минимизируется пиковое (максимальное) усилие в цилиндре во всем диапазоне перемещений механизма.



Рис.6.1 Схема механизма подъема с подвижным цилиндром.

На схеме механизма, показанной на рис.6.1, изображены углы:

α - угол между осью Х и положением нижней части cилового цилиндра;

γ- угол между осью стрелы груза "L" и радиусом "b", поворотного устройства.

Пусть механизм с длиной стрелы L = 3м поднимает груз Р = 1500кг и заданы ограничения на амплитуду движения: .

Необходимо определить величины a, b, β в условиях, когда механизм, перемещая ползун поршня гидроцилиндра в пределах от Smin=1м до Smax=1,8м диапазоне значений: , развивал бы при

этом минимум пикового усилия в поршне T.

Решается минимаксная задача: находится Tmin из всех возможных Tmax.

Воспользуемся теоремой косинусов, для Δ ABCимеем:

a2 + b2 –2abcos(φ + β) = S2.(6.1)

Введем обозначения:

K1 = 2ab; K2 = a2 + b2.(6.2)

Используя (6.1) и (6.2) запишем:

K2 – K1cos(φ + β) = S2.(6.3)

Для нахождения усилия Т в цилиндре запишем равенство моментов, создаваемых Р и Т:

P*L*cosφ = T*h,(6.4)

где h - плечо силы Т.

Из Δ ACD имеем:

a2 = h + x2или -h2 = x2 - a2.(6.5)

Из Δ ABD имеем:

b2 - h2 = (S – x)2или b2 - h2 = S2 – 2Sx + x2,

откуда

- h2 = S2 – 2Sx + x2 - b2(6.6)

Решая (6.5) и (6.6), получим:

-a2 = S2 – 2Sx - b2или 2Sx= S2 – b2 + a2,

откуда

.(6.7)

Подставим в (6.7) вместо S2 значение из (6.1):

(6.8)

Формулу (6.5) преобразуем и, используя (6.8), получим:

(6.9)

Упростим выражение (6.9) под корнем в числителе:

(6.10)

Таким образом, выражение (6.9) имеет вид:

(6.11)

Тогда формула (6.4) для Т приобретает следующий вид:

(6.12)

Введем ограничения, используя формулу (6.3):

(6.13)

Решая (6.13), найдем:

(6.14)

(6.15)

Поскольку K1 = 2ab и K2 = a2 + b2, то можно записать:

(6.16)

Оптимизация пикового усилия выполняется путем вариации угла β при Tmax = f(β): Tminmax = f(βopt).

Для численного решения задачи составим программу в среде MATLAB и запишем её в виде файла pt8.m.

Задача проектирования состоит в выборе такого механизма, который мог бы занимать начальные и конечные положения, развивая при этом минимальные усилия в цилиндре, то есть требуется найти Tmin из всех возможных Tmax. Этот метод выбора Т позволяет снизить стоимость, повысить надежность и срок службы механизма.

Проектными параметрами механизма являются независимые геометрические величины a, b, β.

Исходные данные:

L - длина стрелы в метрах;

P - величина груза в килограммах;

S - ход ползуна поршня в метрах;

fi - поворот стрелы ползункового механизма в градусах.

Лабораторная работа №8. "Параметрическая оптимизация конструкции ползунково - кривошипного механизма"

Цель работы:

Рассчитать оптимальный угол βopt поворота механизма, соответствующий минимальному усилию Тmin из всех максимально-возможных усилий Тmax , развиваемых в силовом цилиндре механизма.

Рассчитать оптимальные параметры "a" и "b" конструкции механизма.

Построить график зависимости T = f(β), с указанием βopt и Tminmax..

4. Построить графики a = f(β), b= f(β), φ = f(β) с указанием βopt.

%File pt8.m

P=1500;L=3.00;Smax=1.8;Smin=1.0;fimax=80;fimin=-20;

fi1=fimin*(pi/180); fi2=fimax*(pi/180);

MM=[]; %Пустой массив.

forbet1=64:0.1:80; %Начало цикла.

bet=bet1*(pi/180);

k1=(Smin^2-Smax^2)/(cos(bet+fi2)-cos(bet+fi1)); %Определение

%коэффициентовk1 иk2.

k2=k1*cos(bet+fi2)+Smax^2;

fiа=-20:0.1:80; %Изменение угла fi. Вариант 1.

%fia=0:2:100; %Вариант 2.

fi=fia*(pi/180);

T=((2*P*L.*sqrt(k2-k1.*cos(bet+fi)))./(k1*sin(bet+fi))).*cos(fi); %Расчет

%усилия в цилиндре.

b=((k2+sqrt(k2^2-k1^2))/2)^0.5; %Расчет параметров механизма a и b.

a=k1/(2*b);

Z=[fi'.*1000 T']; %Массив масштабных коэффициентов для удобства

% вычисления fi и Т.

[Y,I]=max(Z(:,2)); %Максимум второго столбца массива Z (усилия Т).

M=[Z(I,:) [ab]*1000]; %Создание вектора [fiTab].

MM=[MM;M]; %Cоздание матричного массива [fiίTίaίbί]

end %Конец цикла.

MM;

[Y1,I1]=min(MM(:,2)); %Определение Тmin.

v=64:0.1:80; %Вектор изменения β.

BETopt=v(I1) %Определение βopt.

Tminmax=Y1 %Определение Тminmax.

a=MM(I1,3)*0.001 %Определение оптимальных параметров

b=MM(I1,4)*0.001 % a и b.

plot(v,MM(:,2),BETopt,Tminmax,'*'),grid

pause

m1=MM(:,1).*0.001;m2=MM(:,3:4).*0.001;

plot(v,m1,v,m2,v(I1),a,'o',v(I1),b,'o'),grid

Решение варианта 1.

BETopt = 70.3000; Tminmax = 7.9658e+003; a = 0.5864; b =1.2670.



Рис. 6.2 График β= f(T) с указанием βopt и Tminmax



Рис. 6.3 Графики a = f(β), b =f(β), φ =f(β) с указанием βopt.

Для самостоятельного решения задачи проектирования ползунково - кривошипного механизма, используя файл pt8.m, изменить в исходных данных параметры Р и L согласно с вариантами из таблицы 6.1.

Таблица 6.1

Исходные данные к лабораторной работе № 8.

№ Варианта 1 2 3 4

P(кг) 1600 1700 1800 1900

L(м) 2,6 2,9 3,2 3,4

7. Параметрическая оптимизация сопряжения деталей при ихсборке с заданным допуском узла.

Проектирование и практическая реализация сборочных технологических процессов определяется качеством изготовления деталей, входящих в механизм.

Для изготовления деталей, узлов и сборки механизмов в технологических процессах должны быть указаны допуски. Если в процессе изготовления деталей допущены отклонения от требований чертежа, то потребуется дополнительная обработка деталей, приводящая к повышению себестоимости продукции. С повышением точности обработки гиперболически возрастает время изготовления деталей.

Правильное назначение допусков позволяет достигнуть значительной экономии материальных средств и снизить расходы на производство. Наиболее эффективными могут быть решения, принятые на основе оптимизационных процедур, обеспечивающих минимизацию критерия качества.

Рассмотрим решение задачи в следующей постановке.

Требуется собрать узел, состоящий из n различных деталей. Поскольку допуск узла Т равен сумме допусков n деталей, то можно записать:

,(7.1)

где ti - допуск i - ой детали ( i = 1, 2, 3 ... , n ).

Предположим, что стоимость изготовления i - ой детали - gi состоит из двух составляющих:

gpi- постоянной, представляющей стоимость заготовки, и

Ci(ti) - переменной, зависящей от качества обработки детали:

gi = gpi + Ci(ti). (7.2)

Согласно экспериментальным данным, будем считать, что переменная составляющая Ci(ti) представлена зависимостью:

,(7.3)

где Ki- постоянные коэффициенты, зависящие от формы, размеров и материала i - ой детали; tim – допуски в m-ной степени, m - постоянное число.

Стоимость всех деталей входящих в узел равна:

.(7.4)

Задача оптимизации состоит в минимизации стоимости всех деталей G, входящих в узел. Поиск минимума G осуществляется путем определения оптимальных значений допусков деталей ti*.

Для определения оптимальных значений допусков деталей воспользуемся методом параметрической оптимизации с использованием метода множителей Лагранжа.

По методу Лагранжа оптимальный допуск второй детали t2*можно представить как функцию оптимального допуска t1*первой (базовой) детали:

,(7.5)

где - степенной коэффициент.

Аналогично можно записать для i - ой детали:

. (7.6)

Допуск узла можно представить через оптимальный допуск первой детали:

T = S*t1*,(7.7)

где коэффициент пропорциональности S определяется по формуле:

.(7.8)

Тогда оптимальный допуск первой детали определяется зависимостью:

.(7.9)

Оптимальные значения допусков всех деталей рассчитываются по формуле:

(7.10)

Минимальная стоимость узла определяется по формуле:

. (7.11)

Стоимость узла в случае равных допусков деталей:

. (7.12)

Экономия при использовании параметрической оптимизации определяется приращением стоимости:

dG = G - Gm.(7.13)

Лабораторная работа №9."Параметрическая оптимизация сопряжения деталей узлового соединения"

Цель работы:

Рассчитать оптимальные значения допусков всех деталей.

Рассчитать минимальную стоимость узла и сравнить еë со стоимостью узла в случае равных допусков всех деталей.

Для решения задачи в среде MATLAB воспользуемся файлом pt9.m

% File pt9.m

T=0.022; %Допуск узла.

k1=0.0035; %Коэффициенты зависящие от формы, k2=0.0018; %размеров и материала заготовок деталей.

k3=0.00028;

k4=0.0070;

k5=0.0012;

m=2.0%Степень допуска. Вариант 1.

%m=2.2 %Вариант 2.

gp1=120;gp2=180; %Стоимость заготовок деталей.

gp3=47.5;gp4=150;gp5=250;

N=5;%Количество деталей.

alf=1/(m+1);%Степенной коэффициент.

k=[k1 k2 k3 k4 k5].^alf;%Вектор коэффициентов , зависящих

%от формы, размеров и материала заготовок.

S=(k1^(-alf))*sum(k);%Коэффициент пропорциональности.

t1=T/S%Оптимальный допуск 1-ой детали.

t=(k1^(-alf)).*([k1 k2 k3 k4 k5].^alf).*t1%Оптимальные значения %допусков всех деталей.

Pm=[k1 k2 k3 k4 k5]*(t.^(-m))'+sum([gp1 gp2 gp3 gp4 gp5])%Минимальная%стоимость узла.

P=[k1 k2 k3 k4 k5]*([T/N T/N T/N T/N T/N].^(-m))'+sum([gp1 gp2 gp3gp4gp5]) %Стоимость узла в случае равных допусков.

dP=P-Pm%Приращение стоимости.

Решение первого варианта (m = 2).

m =

2

t1 =

0.0052

t =

0.0052 0.0042 0.0023 0.0066 0.0037

Pm =

1.2802e+003

P =

1.4593e+003

dP =

179.1105

Решение второго варианта (m = 2,2).

m =

2.2000

t1 =

0.0052

t =

0.0052 0.0042 0.0024 0.0065 0.0037

Pm =

2.3073e+003

P =

2.8544e+003

dP =

547.1061

Вывод: степенной коэффициент m сильно влияет на значение dP , т.е. m = 2,2 более экономичен, чем m = 2.

8.Оптимизация процесса грузовой обработки судна в порту.

Проект грузовой обработки судна должен обеспечивать работу причала в оптимальном режиме, характеризуемом ростом интенсивности грузовых работ и сокращением суммарных затрат по порту и флоту. Основной путь достижения этой цели – разумная специализация причалов по видам груза, направлениям перевозки и оптимальное сосредоточение на причале механизированных линий и рабочих.

Решение первой из указанных проблем, т. е.специализации причалов, позволяет упорядочить перегрузочный процесс, улучшить подготовку и комплектацию грузов на складах, закрепить и лучше обучить рабочих, оперативный и складской персонал, типизировать и совершенствовать технологию перегрузочных работ.

Вторая проблема – концентрация трудовых ресурсов и технических средств на причале с целью повышения интенсивности грузовых работ.Задача решается путем максимального их сосредоточения на обработке судна с учетом ограничений, определяемых требованиями охраны труда, технической возможностью совместной работы нескольких линий, фронтом, необходимым для расстановки людей и оборудования, размещением складов и обеспечением условий повышения общей производительности труда и суммарных экономических показателей по порту и флоту.

В общем балансе рабочего времени непосредственно от принятой технологии перегрузочных работ зависит время обслуживания рабочего места и подготовительно – заключительных операций.

Обслуживания рабочего места включает не только подготовку его к работе, но и технологические перерывы, связанные с заменой грузозахватных приспособлений, перемещением перегрузочных машин, судов или вагонов. В некоторых случаяхвыполнение операций по обслуживанию рабочего места (например, получение и доставка такелажа и вспомогательных устройств) целесообразно для ускорения работы возлагать на специальных рабочих.

Наиболее продолжительными из подготовительно-заключительных операций обычно бывают работы по зачистке судна от остатков груза, нередко требующие затрат времени, соизмеримых с затратами на основные перегрузочные работы. Технология выгрузки груза должна предусматривать наиболее рациональные методы механизации и организации зачистки, причем по возможности эта операция должна совмещаться по времени с основными работами по разгрузке судна или вагона

Задача оптимизации процесса грузовой обработки судна в порту сводится к определению последовательности обработки трюмов при минимизации суммарного времени простоя судна при выгрузке и зачистке трюмов.

Для лучшего понимания алгоритма решения задачи оптимизации, выполним "ручное" решение задачи грузовой обработки судна, имеющего три трюма.

Пусть работа выполняется двумя бригадами: 1-я бригада выполняет выгрузку груза, 2-я бригада производит зачистку трюмов. При этом время выгрузки и время зачистки каждого трюма, приведены в табл.8.1.

Таблица 8.1

Время выполнения работ (по виду работы)

Время выгрузки (час) 1-ой бригады Время зачистки (час) 2-ой бригады

а1 = 5

а2 = 4

а3 = 7 b1 = 3

b2 = 6

b3 = 5

Определим последовательность обработки трюмов двумя бригадами при минимальном времени выполнения работ.

Для решения задачи составим таблицы сочетаний времени выгрузки и времени зачистки трюмов судна:

a1 a2 a3b1 b2 b3

a1 a3 a2b1 b2 b3

a2 a1 a3b2 b1 b3

a2 a3 a1b2 b3 b1

a3 a1 a2b3 b1 b2

a3 a2 a1b3 b2 b1

Составим график выполнения работ двумя бригадами для первого сочетания:

a1=5 a2=4 a3=7

¦▬|▬|▬|▬|▬¦▬|▬|▬|▬¦▬|▬|▬|▬|▬|▬|▬¦ 1-аябригада

¦▬|▬|▬¦▬|▬|▬|▬|▬|▬¦▬|▬|▬|▬|▬¦ 2-аябригада

b1=3 b2=6 b3=5

Вторая бригада приступает к выполнению работ после выгрузки одного из трюмов. Из графика выполнения работ виден алгоритм суммарного времени обработки судна для первого сочетания:

(a1 + a2 + a3) + (a2 – b1) + (a3 – b2) + b3.(8.1)

После подстановки чисел в выражение (8.1), запишем:

(5 + 4 + 7) + (4 – 3) + (7 – 6) + 5.

Если a2 – b1> 0 и a3 – b2> 0, то эти выражения приравниваются к нулю.

Если a2 – b1< 0 или a3 – b2< 0, то отрицательная разность складывается с общим временем работы.

Теперь составим совместные сочетания времени выгрузки и времени зачистки в следующей форме:

a1 a2 b1 a3 b2 b3

a1 a3 b1 a2 b3 b2

a2 a1 b2 a3 b1 b3(8.2)

a2 a3 b2 a1 b3 b1

a3 a1 b3 a2 b1 b2

a3 a2 b3 a1 b2 b1

Поформуле (8.1) для каждого сочетания (8.2) определим суммарное время обработки трюмов судна:

(a1 + a2 + a3) + (a2 – b1) + (a3 – b2) + b3 = ∑1-госочетания;

(a1 + a3 + a2) + (a3 – b1) + (a2 – b3) + b2 = ∑2-го cочетания;

(а2 + a1 + a3) + (a1 – b2) + (a3 – b1) + b3 = ∑3-госочетания;

(a2 + a3 + a1) + (a3 – b2) + (a1 – b3) + b1 = ∑4-госочетания;(8.3)

(a3 + a1 + a2) + (a1 – b3) + (a2 – b1) + b2 = ∑5-госочетания;

(a3 + a2 + a1) + (a2 – b3) + (a1 – b2) + b1 = ∑6-госочетания.

После подстановки чисел в выражения (8.3) запишем:

16 + 0 + 0 + 5 = 21;

16 + 0 + 1 + 6 = 23;

16 + 1 + 0 + 5 = 22;

16 + 0 + 0 + 3 = 19;

16 + 0 + 0 + 6 = 22;

16 + 1 + 1 + 3 = 21.

Из расчета видно, что минимальное время обработки судна соответствует 4-му сочетанию. Из которого можно составить матрицу оптимального распределения порядка выполнения работ по выгрузке груза из трюмов судна.

.

Далее, в файле pt10.m, приведена программа расчета задачи оптимизации процесса грузовой обработки судна в порту, выполненный в среде MATLAB.

Лабораторная работа № 10. "Оптимизация процесса грузовой обработки судна в порту"

Цель работы:

1.Определить оптимальное распределение последовательности выполнения работ по обработке трюмов cудна, минимизирующее суммарное время простоя судна в порту.

2.Пострить графики оптимального выполнения работ по выгрузке и зачистке трюмов судна.

% File pt10.m

% Optimal working of machine tools.

AA=[0.0153 0.5028;

0.4451 0.4289; %Матрица трудозатрат работы двух бригад по0.9318 0.3046; %выгрузке и зачистке помещений судна.

0.4660 0.1897; %Вариант № 1. Исходные данные.

0.4186 0.1934;

0.8462 0.6822;

0.5252 0.3028;

0.2026 0.5417;

0.6721 0.1509;

0.8381 0.6979;

0.0196 0.3784;

0.6813 0.8600;

0.3795 0.8537;

0.8318 0.5936];

%AA=[4 5 30 6 2;5 1 4 30 3]'; %Вариант №2.

%AA=[4 6 7 3 8 11;2 7 5 1 9 4]'; %Вариант №3.

%AA=rand(51,2); %Вариант №4. Пример со случайными числами.

%AA=[5 4 7;3 5 4]'; %Вариант №5.

A=AA;

L=size(A);N=L(1); %Определение размерности матрицы А и количества

%обрабатываемых объектов.

Za=[];Zb=[];%Создание пустых массивов.

for i=1:L(1)-1;%Начало цикла.

[z1,I1]=min(A(:,1)); [z2,I2]=min(A(:,2));%Выявление наименьших %числовыхзначений в столбцах матрицы А.

S=[];

if z2<z1 %Начало вложенного цикла сравнения численных

% значений матрицы А посредством переборки

%различных сочетаний.

ab1=A(I2,:);

Zb=[Zb;ab1];

s=I2;

elseif z1<=z2

ab2=A(I1,:);

Za=[Za;ab2];

s=I1;

%pause

end %Конецвложенногоцикла.

S=[Ss];

k=S;

A1=[A(1:k-1,:);A(k+1:N-i+1,:)];

% pause

A=A1;

Za;

Zb;

S=[];

%k=[];

end %Конеццикла.

A1;

Zb1=flipud(Zb); %Перестановка строки матрицы Zb симметрично

%относительно горизонтальной оси.

Aopt=[Za;A1;Zb1] %Формирование матрицы оптимального распределения

%последовательности выполнения работ.

v=1:N;

plot(v,Aopt,v,Aopt(:,1),'*',v,Aopt(:,2),'o'),grid

B=[AA Aopt] %Матрица сравнения заданной последовательности

%выполнения работ и оптимального распределения

%последовательности выполнения работ.

xlabel ('Объекты')

ylabel ('Время работы')

Решение варианта №1.

>> pt10

Aopt =

0.0153 0.5028

0.0196 0.3784

0.2026 0.5417

0.3795 0.8537

0.6813 0.8600

0.8381 0.6979

0.8462 0.6822

0.8318 0.5936

0.4451 0.4289

0.9318 0.3046

0.5252 0.3028

0.4186 0.1934

0.4660 0.1897

0.6721 0.1509

B =

0.0153 0.5028 0.0153 0.5028

0.4451 0.4289 0.0196 0.3784

0.9318 0.3046 0.2026 0.5417

0.4660 0.1897 0.3795 0.8537

0.4186 0.1934 0.6813 0.8600

0.8462 0.6822 0.8381 0.6979

0.5252 0.3028 0.8462 0.6822

0.2026 0.5417 0.8318 0.5936

0.6721 0.1509 0.4451 0.4289

0.8381 0.6979 0.9318 0.3046

0.0196 0.3784 0.5252 0.3028

0.6813 0.8600 0.4186 0.1934

0.3795 0.8537 0.4660 0.1897

0.8318 0.5936 0.6721 0.1509

>>

Рис. 8.1 Графики оптимального распределения последовательности выполнения работ двумя бригадами

Вывод.

Разработанная программа установила последовательность оптимальной обработки трюмов, минимизировав суммарное время простоя судна в порту.

9.Оптимальное распределение ресурсов между объектами порта по критериюмаксимального дохода.

Воспользуемся шаговой оптимизацией распределения ресурсов с использованием метода динамического программирования.

Решим задачу оптимального распределения 2-х ресурсов (доходов от совершенствования работы порта на 2-х причалах). В качестве исходных данных обозначим:

х - распределение бюджетных денег;

f1(x) - распределение дохода от совершенствования работы порта на первом причале;

f2(x) - распределение дохода от совершенствования работы порта на втором причале.

Составим таблицу:

Таблица 9.1

Распределение доходов от работы порта по причалам

х 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200

f1(x) 80 100 110 120 180 210 230 260

f2(x) 60 90 110 130 150 190 230 250

Цель задачи - получение портом максимального дохода при совершенствовании технологии на двух причалах.

Решить такую задачу можно средствами МАТLАB.

Результатом расчета будет построение матрицы распределений:

максимального дохода порта;

финансирования работ на первом причале;

финансирования работ на втором причале;

бюджета порта.

Программа расчета приведена в файле pt11a.m

%File pt11a.m

%Исходные данные: бюджет порта (вектор распределения):

x=[0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200];

%Доход от совершенствования технологии на первом причале

%(вектор распределения):

f1=[0 80 100 110 120 180 210 230 260];

%Доход от совершенствования технологии на втором причале

%(вектор распределения):

f2=[0 60 90 110 130 150 190 230 250];

plot(x,f1,x,f2),grid %Графикx=f(f1,f2).

F12 = []; %Матрица распределений:

%суммарного дохода от двух причалов,

%бюджета первого причала;

%бюджета второго причала;

%бюджета порта.

forxR=1:9; %Диапазон распределения бюджета порта.

I=1:xR; %Вектор диапазона распределения бюджета.

L12=f1(I)+f2(xR-I+1); %Pасчет распределения суммарного

%дохода от двух причалов.

[Lopt,I]=max(L12); %Максимальный доход от двух причалов.

x1=I*400-400; %Pаспределение бюджета на первом причале.

x2=(xR-I)*400; %Pаспределение бюджета на втором причале.

Pacp=[Lopt;x1;x2;x1+x2]; %Матрица распределений:

%оптимального дохода от двух причалов;

%бюджета первого причала;

%бюджета второго причала;

%бюджета порта.

F12=[F12 Pacp]; %Матрица расчета распределений.

end

F12

pause

plot(x,F12(1,:)),grid %График зависимости распределений бюджета

%порта от суммарного дохода (прибыли).

Результат решения.

Матрица расчета распределений:

оптимального дохода от двух причалов;

бюджета первого причала;

бюджета второго причала;

бюджетапорта.

F12 =

Columns 1 through 4

0 80 140 170

0 400 400 400

0 0 400 800

0 400 800 1200

Columns 5 through 8

190 210 240 270

400 400 2000 400

1200 1600 400 2400

1600 2000 2400 2800

Column 9

310

400

2800

3200



Рис.9.1 График зависимости распределения доходов, получаемых приработе двух причалов, от бюджета порта.

Для понятия получения результата, необходимо использовать исходные данные (см. таблицу 9.1) и распределение бюджета по причалам (см. вторую и третью графы результата решения). Для каждого распределения бюджета по формуле: f1(x)+f2(x) определяем максимальный доход (первую графу результата), используя метод динамического программирования.



Рис.9.2 График зависимости распределений прибыли от бюджета порта.

Бюджет Доход 1 Доход 2 Суммарный доход

0 ==> 0 + 0 = 0

400 ==> 80 + 0 = 80

800 ==> 80 + 60 = 140

1200 ==> 80 + 90 = 170

1600 ==> 80 + 110 = 190

2000 ==> 80 + 130 = 210

2400 ==> 180 + 60 = 240

2800 ==> 80 + 190 = 270

3200 ==> 80 + 230 = 310

Для определения оптимального распределения шести ресурсов, с исходными данными, заданными в таблице 9.2, используем программу, приведенную в файле pt11.m.

Лабораторная работа №11. "Оптимальное распределение шести ресурсов"

Цель работы.

Получение максимального значения прибыли при совершенствовании работы порта на шести причалах, с помощью метода динамического программирования Беллмана.

Исходные данные:

Таблица 9.2

Распределение прибыли отработы порта по шести причалам

х 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200

f1(x) 0 80 100 110 120 180 210 230 260

f2(x) 0 60 90 110 130 150 190 230 250

f3(x) 0 30 40 70 110 180 200 240 250

f4(x) 0 40 60 80 130 160 180 210 240

f5(x) 0 50 70 90 110 150 170 200 220

f6(x) 0 70 80 110 140 160 200 250 270

x - распределение бюджета порта;

f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), f5(x), f6(x) – распределение дохода от совершенствования технологии порта для шести причалов.

Программа приведена в файле pt11.m

% File "pt11.m".

x=[0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200]; %Исходные данные

%распределений бюджета порта и

%доходов от работы шести причалов.

f1=[0 80 100 110 120 180 210 230 260];

f2=[0 60 90 110 130 150 190 230 250];

f3=[0 30 40 70 110 180 200 240 250];

f4=[0 40 60 80 130 160 180 210 240];

f5=[0 50 70 90 110 150 170 200 220];

f6=[0 70 80 110 140 160 200 250 270];

x=0:400:3200;

F=[f1;f2;f3;f4;f5;f6]; %Функция распределений доходов.

plot(x,F),grid

xlabel('Бюджет порта')

ylabel('Доходы от совершенствования работы причалов')

pause

% Динамическое программирование.

% xR=400;

% Решение для первых двух причалов f1 и f2:

FF=[]; %Матрица распределений:

%суммарного дохода от двух причалов,

%бюджета первого причала;

%бюджета второго причала;

%бюджета порта.

J=1;

forxR=1:9; %Диапазон распределений.

I=1:xR; %Вектор распределений.

L=F(J,I)+F(J+1,xR-I+1); %Расчет суммарного дохода.

[Lopt,I]=max(L); %Максимальный доход от двух причалов.

x1=I*400-400;%Pаспределение бюджета на первом причале.

x2=(xR-I)*400;%Pаспределение бюджета на втором причале.

Pacn=[Lopt;x1;x2;x1+x2];%Матрица распределений:

%оптимального дохода от двух причалов;

%бюджета первого причала;

%бюджета второго причала;

%бюджета порта.

FF=[FF Pacn];%Матрица расчета распределений.

end

D=FF(1,:)%Распределение бюджета порта.

% Расчет распределений для остальных причалов:

PP=[]; RRR=[];

for J=2:5;

DD=[]; RR=[];

forxR=1:9;

I=1:xR;

L=D(I)+F(J+1,xR-I+1);

[Lopt,I]=max(L);

x1=I*400-400;

x2=(xR-I)*400;

Pacn=[Lopt;x1;x2;x1+x2];

% Расчет распределений для других шагов:

DD=[DD Pacn(1,:)];

RR=[RR Pacn];

end

PP=[PP;DD(1,:)];

RRR=[RRR RR];

DD;

D=DD;

end

% Окончательный расчет:

RRR=[FF RRR]

Res1_2=RRR(:,1:9)

Res3=RRR(:,10:18)

Res4=RRR(:,19:27)

Res5=RRR(:,28:36)

Res6=RRR(:,37:45)

Результат расчета.



Рис.9.3 График зависимости доходов отдельных причалов от бюджета порта.

Матрица расчета распределений:

RRR =

Columns 1 through 4

0 80 140 170

0 400 400 400

0 0 400 800

0 400 800 1200

Columns 5 through 8

190 210 240 270

400 400 2000 400

1200 1600 400 2400

1600 2000 2400 2800

Columns 9 through 12

310 0 80 140

400 0 400 800

2800 0 0 0

3200 0 400 800

Columns 13 through 16

170 200 220 260

800 1200 1600 400

400 400 400 2000

1200 1600 2000 2400

Columns 17 through 20

320 350 0 80

800 1200 0 400

2000 2000 0 0

2800 3200 0 400

Columns 21 through 24

140 180 210 240

800 800 1200 1600

0 400 400 400

800 1200 1600 2000

Columns 25 through 28

270 320 360 0

800 2800 2800 0

1600 0 400 0

2400 2800 3200 0

Columns 29 through 32

80 140 190 230

400 800 800 1200

0 0 400 400

400 800 1200 1600

Columns 33 through 36

260 290 320 370

1600 2000 2400 2800

400 400 400 400

2000 2400 2800 3200

Columns 37 through 40

0 80 150 210

0 400 400 800

0 0 400 400

0 400 800 1200

Columns 41 through 44

260 300 330 360

1200 1600 2000 2400

400 400 400 400

1600 2000 2400 2800

Column 45

390

2800

400

3200

Матрицы результатов расчета.

Res1_2 =

Columns 1 through 4

0 80 140 170

0 400 400 400

0 0 400 800

0 400 800 1200

Columns 5 through 8

190 210 240 270

400 400 2000 400

1200 1600 400 2400

1600 2000 2400 2800

Column 9

310 - общий доход от совместной работы двух причалов;

400 - бюджет первого причала;

2800- бюджет второго причала;

3200- бюджетпорта.

Res3 =

Columns 1 through 4

0 80 140 170

0 400 800 800

0 0 0 400

0 400 800 1200

Columns 5 through 8

200 220 260 320

1200 1600 400 800

400 400 2000 2000

1600 2000 2400 2800

Column 9

350- общий доход от работы трех причалов;

1200- суммарный бюджет 1 и 2 причалов;

2000- бюджет третьего причала;

3200- бюджетпорта.

Res4 =

Columns 1 through 4

0 80 140 180

0 400 800 800

0 0 0 400

0 400 800 1200

Columns 5 through 8

210 240 270 320

1200 1600 800 2800

400 400 1600 0

1600 2000 2400 2800

Column 9

360- общий доход от работы четырех причалов;

2800- суммарный бюджет 1, 2, 3 причалов;

400- бюджет четвертого причала;

3200- бюджетпорта.

Res5 =

Columns 1 through 4

0 80 140 190

0 400 800 800

0 0 0 400

0 400 800 1200

Columns 5 through 8

230 260 290 320

1200 1600 2000 2400

400 400 400 400

1600 2000 2400 2800

Column 9

370- общий доход от работы пяти причалов;

2800- суммарный бюджет 1, 2, 3, 4 причалов;

400- бюджет пятого причала;

3200- бюджетпорта.

Res6 =

Columns 1 through 4

0 80 150 210

0 400 400 800

0 0 400 400

0 400 800 1200

Columns 5 through 8

260 300 330 360

1200 1600 2000 2400

400 400 400 400

1600 2000 2400 2800

Column 9

390- общий доход от работы шести причалов;

2800- суммарный бюджет 1, 2, 3, 4, 5 причалов;

400- бюджет шестого причала;

3200- бюджет порта.



Рис.9.4 Зависимость суммарного дохода от бюджета порта.

Вывод.

При решении задачи рассчитана оптимальная зависимость распределения суммарного дохода от бюджета порта для шести причалов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Учебное пособие выполнено применительно к среде программирования MATLAB и представлено в девяти разделах. Компьютерное моделирование выполнено в виде лабораторных работ, построенных на базе разработанных программ.

В первом разделе рассмотрены общие правила работы в среде MATLAB, даны примеры вычислений и способы построения графиков.

В качестве объекта проектирования рассмотрен портово – перегрузочный механизм, представленный двухзвенным роботом манипулятором.

Во втором разделе, при заданных значениях углов поворота манипулятора и координатах положения груза, рассчитаны параметры звеньев манипулятора и построены траектории их перемещения.

Оптимизация параметров звеньев робота - манипулятора с помощью метода наименьших квадратов рассмотрена в третьем разделе работы. В качестве критерия оптимизации параметров звеньев использован минимум среднеквадратичной ошибки между значениями заданной траектории и аппроксимирующей траекторией модели перемещения груза. Оптимизация выполнена с помощью линейного и нелинейного методов.

В четвертом разделе работы рассмотрено построение траекторий звеньев робота – манипулятора с формированием линейного массива узлов для заданного закона перемещения груза с использованием кубических сплайнов.

Пятый раздел работы посвящен знакомству с элементами символьной математики, решению уравнений в символьной форме, расчету значений углов поворота звеньев робота – манипулятора и построению графиков положений звеньев и изменения углов поворота звеньев манипулятора, при изменяющейся по оси ординат координате захвата груза при постоянной координате по оси абсцисс.

В шестом разделе работы рассмотрена параметрическая оптимизация конструкции механизма с подвижным силовым цилиндром. Оптимизация сведена к минимизации максимального усилия в цилиндре механизма во всем диапазоне его движения.

Параметрической оптимизации сопряжения деталей при их сборке с заданным допуском узла механизма посвящен седьмой раздел работы. В качестве критерия оптимальности принят минимум стоимости всех деталей входящих в узел механизма, с учетом определения оптимальных значений допусков всех деталей.

В восьмом разделе работы рассмотрена оптимизация процесса грузовой обработки судна в порту. Задача оптимизации сведена к определению последовательности обработки трюмов судна при минимизации суммарного времени простоя судна в порту при выгрузке и зачистке трюмов методом переборки различных сочетаний времени обработки трюмов судна разными бригадами.

Девятый раздел работы посвящен оптимизации распределения ресурсов между объектами порта по критерию оптимального дохода с помощью метода динамического программирования. Выполнен расчет получения максимального значения прибыли при совершенствовании работы порта на шести причалах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Андрианов В.Е., Сахаров В.В. Оптимизация параметров ползунково-кривошипного механизма погрузочной машины. СПб.: СПГУВК, Межвузовский сборник научных трудов, вып.3, 2002, с.139-144.

Андрианов В.Е., Иванов Е.Н., Севрюков А.С. Применение сплайнов для управления двухзвенным манипулятором. – СПб.: Сборник научных трудов "Автоматизированные информационные системы управления на водном транспорте". Вып. 11, 2003. – 23-30 с.

Андрианов В.Е., Куликов Н.А., Ставинский А.Е. О позициони-ровании робота-манипулятора. СПб.: СПГУВК, Труды международной научно-практической конференции "Безопасность водного транспорта", том 4, 2003, с.234-237.

Андрианов В.Е., Ставинский А.Г. Алгоритм оптимального расписания обработки судна в порту. "Методы прикладной математики в транспортных системах". СПб.: СПГУВК, Сборник научных трудов, вып. 7, 2002, с.3-6.

Дьяконов В.П. MATLAB: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 560 с.

Глущенко В.В., Сахаров В.В., Сумеркин Ю.В. Моделирование электрических и динамических систем в среде MATLAB: Учеб.пособие. СПГУВК. СПб., 1998. – 293 с.

Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 6.х.: Программирование численных методов. – СПб.: БХВ – Петербург, 2004. – 672 с.

Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие. – М.: ДИАЛОГ – МИФИ, 1997. – 350 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ3

1.Общие правила работы в среде программирования MATLAB

Примеры вычислений. Построение графиков4

1.1.Oбщие правила работы в среде MATLAB4

1.2.Вычисление математических выражений7

1.2.1.Примеры расчета математических выражений

в режиме прямых вычислений7

1.3. Построение графиков функций16

2. Компьютерное моделирование траекторий движения

двухзвенного робота – манипулятора31

Лабораторная работа № 1. Расчет элементов манипулятора

и построение траекторий движения при перемещении груза

параллельно оси абсцисс35

Лабораторная работа № 2. Компьютерное моделирование расчета положений двухзвенного робота - манипулятора по любой заданной траектории движения выходных координат40

3. Оптимизация параметров звеньев робота - манипулятора с помощью метода наименьших квадратов46

Лабораторная работа 3. Линейный метод оптимизации

параметров звеньев робота - манипулятора с помощью метода

наименьших квадратов49

Лабораторная работа №3а. Нелинейный метод оптимизации

параметров звеньев робота - манипулятора с помощью метода

наименьших квадратов54

4. Построение траекторий звеньев робота - манипулятора с

использованием кубических полиномов (сплайнов)57

Лабораторная работа №4. Построение траекторий звеньев

манипулятора с формированием линейного массива узлов

для заданного закона изменения выходных координат61

Лабораторная работа №5. Построение траекторий движения

звеньев манипулятора с использованием сплайнов65

5. Построение траектории перемещения двухзвенного робота -

манипулятора с помощью элементов символьной математики70

5.1. Решение уравнений в символьной форме70

5.2. Позиционирование двухзвенного робота – манипулятора72

Лабораторная работа №6. Определение и построение предельных

значений углов поворота звеньев робота - манипулятора с помощью элементов символьной математики77

Лабораторная работа №7. Построение графиков изменения

углов поворота звеньев робота – манипулятора при постоянной

координате ''х'' и изменяющейся координате ''y'' захвата груза79

6. Параметрическая оптимизацияконструкциимеханизмас

подвижнымцилиндром80

Лабораторная работа №8. Параметрическая оптимизация

конструкции ползунково - кривошипного механизма84

7. Параметрическая оптимизация сопряжения деталей при

их сборке с заданным допуском узла88

Лабораторная работа №9. Параметрическая оптимизация

сопряжения деталей узлового соединения90

8.Оптимизация процесса грузовой обработки судна в порту93

Лабораторная работа № 10. Оптимизация процесса грузовой

обработки судна в порту97

9.Оптимальное распределение ресурсов между объектами

порта по критерию максимального дохода102

Лабораторная работа №11. Оптимальное распределение

шести ресурсов107

ЗАКЛЮЧЕНИЕ117

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК119

СОДЕРЖАНИЕ120

Хххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

% File 'sah438.m'

% Квадратичное программирование.

% Оптимальное управление режимами работы судовых

% генераторных агрегатов.

% Оптимальное распределение нагрузки между

% тремя генераторами.

L=190;

%L=190;

%L=200;

LB=[0 0 0]'

UB=[50 70 80]'

%UB=[50 70 0]';

H=[0.06 0 0;0 0.03 0;0 0 0.02]

f=[2 1.45 0.95]';

Aeq=[1 1 1]

Beq=L

[x,J]=quadprog(H,f,[],[],Aeq,Beq,LB,UB);

x

J=J+300

Fopt=0.03*x(1).^2+0.015*x(2).^2+0.010*x(3).^2+...

2*x(1)+1.45*x(2)+0.95*x(3)+300

хххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

% File 'sah459.m'.

% Примеры простых задач линейного программирования.

% В танспортном процессе участвуют:

% два потребителя (строительные организации,склады)

% и два грузовых района порта, из которых производится

% доставка строительных материалов транспортными

% средствами порта (продукция предприятия).

% А-(2х2)-технологическая матрица. На причале первого

% грузового района 15 тыс.тонн грузов,

% на причале второго - 7 тыс.тонн.Необходимо в течение

% оговоренных договорами сроков доставить первой строи-

% тельной организации 9тыс. тонн, а второй 13 тыс. тонн.

% Стоимость перевозок 1 тыс. тонн с площадки i потреби-

% телю j равна A(i,j)тыс.долларов. Для определенности

% примем: A(1,1)=1.8, A(1,2)=2.7, A(2,1)=6, A(2,2)=2.6.

% Необходимо минимизировать затраты на перевозки.

% ===================================================

% РЕШЕНИЕ

% Предположим,что первой строительной организации с первой

% площадки порта доставлено X тыс. тонн груза. Тогда на второе

% предприятие с первой площадки необходимо доставить (15-X) тыс. тонн.

% Кроме того, со второй площадки на первое предприятие необходимо

% доставить (9-X) тыс. тонн, а со второй площадки во вторую

% строительную организацию (13-(15-X)) тыс. тонн.

% Ограничения на переменную состояния X устанавливаютс следующим

% образом. Предположим, что все зарасы груза, имеющиеся на второй

% площадке, доставлены на первое предприятие. Тогда для обеспечения

% объема, равного (по условиям перевозок) 9тыс.т., на первое предприятие

% с первого грузового района следует доставить Х=2 тыс. т. Таким образом,

% минимальное значение Xmin=2 тыс. т. С дргой стороны, первый грузовой

% район может полностью удовлетворить потребности первого предприятия,

% если на него поставит 9 тыс. т. В этом случае со второго грузового

% района нет необходимости доставлять груз на первое предприятие,

% и поэтому Xmax=9.

% Таким образом, вариация Х при значениях Xmin=9-7=2 и Xmax=9 должна

% осуществляться в пределах Xmin<=X<=Xmax.

% Расходы на перевозки 1 тыс.т. груза равны (тыс.долл./тыс.т.):

%%%a11=1.8;a12=2.7;a21=6;a22=2.6;

%-----------------------------------------------------------

% Встроенная матрица случайных чисел:

B=rand(2,2);

a11=B(1,1); a12=B(1,2); a21=B(2,1); a22=B(2,2);

%-----------------------------------------------------------

% Задание на самостоятельную работу:

% вариируя A(i,j) в пределах от 1.5 до 6 , не изменяя другие

% коэффициенты, получить оптимальные решения, т.е. минимум затрат

% на перевозки, осуществляемые транспортными % %средствами грузовыхрайоновпорта.

%------------------------------------------------------------

X=2:0.5:9;

Z=a11*X+a12*(15-X)+a21*(9-X)+a22*(13-(15-X));

[Y,I]=min(Z)

%=================================

%%plot(X,Z,(I+3)*0.5,Y,'O'),grid

%%axis([1 10 40 85])

%=================================

plot(X,Z,(I+3)*0.5,Y,'o'),grid

xlabel(' X'), ylabel('Z')

%==================================

pause

x11=2+0.5*(I-1)

x12=15-x11

x21=9-x11

x22=13-(15-x11)

J0=min(Z)

% Проверка граничных условий:

x11+x12

x21+x22

x11+x21

x12+x22

%Решение с помощью функции linprog:

c=[a11 a12 a21 a22];

A=[];b=[];

Aeq=[1 1 0 0;0 0 1 1;1 0 1 0;0 1 0 1];

beq=[15 7 9 13]';

lvb=[0 0 0 0]';uvb=[];

u=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lvb,uvb)

c

% Проверка выполнения условий ограничений

J=c*u

[Aeq*u beq]

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

% Файл sah462.m

% Задача о раскрое материала II.

% Стоимость заготовки ai,стоимость оставшейся части

% заготовки bi,стоимость одного среза ci:

a1=100; a2=60; a3=40;

b1=5; b2=10; b3=15; b4=8;

c=20;

f=[(a1+c) (a1+2*c-b2) (a1+3*c-b1) (a2+c-b3) (a2+2*c-b4) ...

(a3+c-b1)];

A=[1 1 1 0 0 0 ;0 0 0 1 1 0;0 0 0 0 0 1];

%b=[50 100 50]';

b=[100 200 50]';

Aeq=[2 1 0 1 0 0;0 1 3 0 2 1]; beq=[200 250]';

lvb=[0 0 2 0 0 0]'; ulb=[20 56 inf 110 95 inf]';

[x,J]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lvb,ulb);

x1=round(x);

J1=f*x1;

[x x1]

[J J1]

beq_corr=Aeq*x1

%ПРИМЕЧАНИЕ. Для решения задачи целочисленного програм-

% мирования рекомендуется применять операцию

% x=round(linprog(.........)),

% после чего корректировать вектор beq:

% beq_corr=Aeq*round(x).

% Затем внести откорректированное значение в

% соответствующую строку программы.

% РЕШЕНИЕ

% >> sah462

% Optimization terminated.

% ans =

% 20.0000 20.0000

% 50.0000 50.0000

% 6.6667 7.0000

% 110.0000 110.0000

% 90.0000 90.0000

% 0.0000 0

% [J J1]=

% 1.0e+004 *

% 2.5363 2.5415

%beq_corr =

% 200

% 251

% >>

хххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

% Файл sah462а.m

% Нелинейнаязадачаораскроематериала.

% Применение алгоритма открытого поиска (генетического алгоритма)для

% решения задачи о раскрое материала.

%=================================================================

% Стоимость заготовки ai,стоимость оставшейся части

% заготовки bi,стоимость одного среза ci:

global a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 c

a1=100; a2=60; a3=40;

b1=5; b2=10; b3=15; b4=8;

c=20;

f=[(a1+c) (a1+2*c-b2) (a1+3*c-b1) (a2+c-b3) (a2+2*c-b4) ...

(a3+c-b1)];

A=[1 1 1 0 0 0 ;0 0 0 1 1 0;0 0 0 0 0 1];

%b=[50 100 50]';

b=[100 200 50]';

Aeq=[2 1 0 1 0 0;0 1 3 0 2 1]; beq=[200 250]';

lvb=[0 0 2 0 0 0]'; ulb=[20 56 inf 110 95 inf]';

[x,J]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lvb,ulb);

x1=round(x);

J1=f*x1;

[x x1]

[J J1]

beq_corr=Aeq*x1

%ПРИМЕЧАНИЕ. Для решения задачи целочисленного програм-

% мирования рекомендуется применять операцию

% x=round(linprog(.........)),

% после чего корректировать вектор beq:

% beq_corr=Aeq*round(x).

% Затем внести откорректированное значение в

% соответствующую строку программы.

% РЕШЕНИЕ

% >> sah462

% Optimization terminated.

% ans =

% 20.0000 20.0000

% 50.0000 50.0000

% 6.6667 7.0000

% 110.0000 110.0000

% 90.0000 90.0000

% 0.0000 0

% [J J1]=

% 1.0e+004 *

% 2.5363 2.5415

%beq_corr =

% 200

% 251

%===================================================

%Задачаквадратичногопрограммирования.

H=[1.6 0 0 0 0 0;0 1.4 0 0 0 0;0 0 1.2 0 0 0;0 0 0 1.0 0 0;0 0 0 0 0.7 0;0 0 0 0 0 3];

[x2,J2]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lvb,ulb)

%==================================================

% ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ

% Файл-функция sah462b.m.

% Применение функции patternsearch:

x0=[10 20 20 30 30 50]';

[x3,J3]=patternsearch(@sah462b,x0,A,b,Aeq,beq,lvb,ulb)

J3c=0.5*x3'*[1.6 0 0 0 0 0;0 1.4 0 0 0 0;0 0 1.2 0 0 0;0 0 0 1.0 0 0;0 0 0 0 0.7 0;0 0 0 0 0 3]*x3+...

[(a1+c) (a1+2*c-b2) (a1+3*c-b1) (a2+c-b3) (a2+2*c-b4) (a3+c-b1)]*x3

%===================================================

% Проверка условий равенств и неравенств. Сравнение квадратичного алгоритма

% с генетическим алгоритмом:

[A*x2 A*x3 b]

[Aeq*x2 Aeq*x3 beq]

[J2 J3]

%Ошибка в %:

100*(J3-J2)/J3

%ans =0.1998

% File 'sah427.m'

% V.I.Vasendin,V.A.Shoshmin 'Electrical Economy for River

% Transprt Undertaking',1985.-pp.157-160.

% Function LINPROG.

%===================================================

% Data for optimization:L-(m*n)-matrix with technological

% coefficients; St-(1*m)-vector(substaitions power);

% Sp-(1*n)-vector (consumers power); m < n;

% sum(St)>sum(Sp); x-((m*n)*1)-dimention unknown state vector.

%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

L=[0.3 0.9 0.2 0.3;0.4 0.5 1.0 0.1;0.6 0.8 0.6 0.4];

%%%L=rand(23,35)

St=[630 1000 400]; Sp=[800 200 600 300];

%%%St=rand(1,23).*700; Sp=rand(1,35).*150;

%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

% Lower and upper constraints:

k=size(L);

LB=zeros(k(1)*k(2),1);

%UB=ones(k(1)*k(2),1).*3000;

UB=[150 3000 400 3000 300 3000 3000 100 3000 3000 3000 3000]';

%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

% Data for optimization checking:

%k=size(L);

v1=size(St);v2=size(Sp);

if (sum(Sp)>sum(St))|((k(1)*k(2))~=(v1(2)*v2(2)))

stop

end

%===================================================

% Matrices A, b,Aeq, beq forming:

k=size(L);

a1=ones(1,k(2));

a2=zeros(1,k(2));

% For matrices A,b and f:

A=[]; f1=[];

for i=1:k(1)

ff1=L(i,:);

f1=[f1 ff1];

WW=[]; ff=[];

for j=1:k(1)

if j==i

w=a1;

WW=[WW w];

else

w=a2;

WW=[WW w];

end

WW;

end

WW;

A=[A;WW];

end

A;

f1;

f=f1;

% For matrices Aeq and beq:

b=St';

D=diag(ones(1,k(2)));

k=size(L);

Aeq=repmat(D,1,k(1));

beq=Sp';

%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

% Computing:

%x0=ones(12,1).*0.1;

%[x,J]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0);

[x,J]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);

x'

J

%>> sah427

%Optimization terminated.

%ans =

% Columns 1 through 6

% 230.0000 0.0000 400.0000 0.0000 400.0000 200.0000

% Columns 7 through 12

% 0.0000 300.0000 170.0000 0.0000 200.0000 0.0000

% J = 661.0000

% Решение 2.

% >> [LB';UB']

%ans =

% Columns 1 through 5

% 0 0 0 0 0

% 150 3000 400 3000 300

% Columns 6 through 10

% 0 0 0 0 0

% 3000 3000 100 3000 3000

% Columns 11 through 12

% 0 0

% 3000 3000

%>> sah427

%Optimization terminated.

% ans =

% Columns 1 through 6

% 150.0000 0.0000 330.0000 150.0000 300.0000 200.0000

% Columns 7 through 12

% 270.0000 100.0000 350.0000 0.0000 0.0000 50.0000

%J = 886.0000

% Проверка условий в форме ограничений-равенств и неравенств:

% >> [A*x b]

% ans =

% 1.0e+003 *

% 0.6300 0.6300

% 0.8700 1.0000

% 0.4000 0.4000

% >> [Aeq*x beq]

% ans =

% 800.0000 800.0000

% 200.0000 200.0000

% 600.0000 600.0000

% 300.0000 300.0000

хххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

Применение МНК для решения практических задач

% sah548.m

% Простейшие вычисления в среде MATLAB.

% -1-

% На пружинные весы поочередно устанавливается груз %массой x (г).

% Измеряется сжатие пружины в виде данных вектора y %(мм).

x=0:100:800;

y=[0 0.09 0.18 0.28 0.37 0.46 0.55 0.65 0.74];

% Оценить параметры модели y=f(x)=b+a*x методом %наименьших квадратов.

% Найти вектор погрешностей измерений. Построить %график.

H=[ones(9,1) x'];

d=inv(H'*H)*H'*y'

ym=H*d;

[y' ym]

eps=y'-ym;

plot(x,y,'.',x,ym),grid

Оценка параметров периодических сигналов

по экспериментальным данным

Предположим, что в процессе обработки периодического сигнала получены значения напряжения через каждые 15° в контрольных точках. Измерения произведены с точностью, определяемой лишь одним знаком после запятой. Полученные данные в интервале изменения угла alf= 0°180° сведены в таблицу 1.2, содержащую 13 экспериментальных точек.

Таблица 1.2.

аlf(i)

(град) 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180

u(i)(B) 12.7 33.8 52.0 60.9 57.8 45.7 31.1 20.1 15.6 15.1 13.0 4.2 -12.7

B первой строке таблицы приведен угол alf(i) (в градусах), во второй - напряжение u(i) (в вольтах), i = 0, . . . , 12 .

Требуется по данным таблицы 1.2. определить амплитуды и фазы первых трех гармони периодического сигнала

(1.22)

где 0 - частота первой гармоники.

Таким образом, требуется оценить амплитуды и фазы

U1m , Q1 ,

U2m , Q2 ,

U3m , Q3 .

Разделив период T на 24 равных интервала, мы получим . Так как , то каждому будет соответствовать угол (в градусах).

.

Для нахождения угла в i-ой точке, где i= 024, можно воспользоваться простым соотношением

i = 0, …, 12,

на основании которого заполнена первая строка таблицы 1.2.

Из данных второй строки образуем вектор выхода

y1 = [12.7 33.8 52.0 … 4.2 -12.7]T

размерности (13Ч1).

Чтобы придать уравнению (1.22) вид модели (1.19), воспользуемся тождественным преобразованием

(1.23)





Введем обозначения







Эти величины в уравнении (1.23) являются постоянными. u(0 t) является скалярной величиной. Она может быть получена в виде произведения двух векторов: вектор-строки [sin0 t cos 0 t sin 20 t cos 20 t sin 30 t cos 30 t] и вектор-столбца х, образованного из элементов

x = [x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6)]T , т.е

u(0 t) =[sin0 t cos 0 t sin 20 t cos 20 t sin 30 t cos 30 t]

Вектор x является искомым вектором, содержащим шесть неизвестных коэффициентов. Для их оценивания, согласно (1.10), требуется составить число уравнений т > 6. Мы выбрали т = 13 и привели эти данные в таблице 1.2.

C помощью вектор-строки приведенного выше уравнения сформируем матрицу H размерности (13Ч6), где каждая i-ая строка должна содержать значения элементов, соответствующие углу alf(i), приведенному в i- ой ячейке первой строки таблицы. B среде MatLAB эта операция выполняется в режиме прямых вычислений

alf=0:15:180;

bet = alf.*(pi/180);

H = [sin(bet)' cos(bet)' sin(2*bet)' cos(2*bet)'

sin(3*bet)' cos(3*bet)']

H =

01.000001.000001.0000

0.25880.96590.50000.86600.70710.7071

0.50000.86600.86600.50001.00000.0000

0.70710.70711.00000.00000.7071 -0.7071

0.86600.50000.8660 -0.50000.0000 -1.0000

0.96590.25880.5000 -0.8660 -0.7071 -0.7071

1.00000.00000.0000 -1.0000 -1.00000.0000

0.9659 -0.2588 -0.5000 -0.8660 -0.70710.7071

0.8660 -0.5000 -0.8660 -0.5000 0.00001.0000

0.7071 -0.7071 -1.00000.00000.70710.7071

0.5000 -0.8660 -0.86600.50001.00000.0000

0.2588 -0.9659 -0.50000.86600.7071 -0.7071

0.0000 -1.0000 0.00001.00000.0000 -1.0000

>>

Можно убедиться, что H имеет полный ранг: rank(Н)=6. Поэтому существует ее обратная матрица . Следовательно, для оценки x можно использовать уравнение (1.15).



Используя выражения для x(l) и x(2), определим амплитуду первой гармоники U1m и фазу Q1



Угол Q1 (в градусах) найдем с помощью уравнения



Аналогично определим U2m, Q2, U3m и Q3



Следовательно, напряжение u(0 t), в соответствии с (1.22), может быть записано с помощью уравнения

(1.24)



при условии, что 0 t имеет размерность "градусы".

B полученном уравнении (1.24) амплитуда напряжения первой гармоники более чем на два порядка превышает амплитуду второй гармоники. Поэтому при выполнении инженерных расчетов второй гармоникой можно пренебречь, а в величинах аргументов первой и третьей гармоник - учесть лишь десятые доли градуса. Тогда получим

(1.25)

Все приведенные выше расчеты в среде MaiLAB могут быть выполнены в режиме прямых вычислений, без составления машинных программ. B случае автоматизации вычислительного процесса необходимо иметь в виду, что в составе вектора x* могут быть элементы равные нулю. Если, например, (3)и (4)равны нулю, то при получении U2m=0 из цикла должна исключаться операция расчета Q2, поскольку будет представлять собой неопределенность типа 0/0, и последующие вычисления на ПЭВМ прекратятся.

Чтобы оценить погрешность вычислений, вызванную ограничением разрядов чисел, содержащихся во второй строке таблицы 1.2, возвратимся к уравнению (1.26) — модели процесса, которая в действительности использована для получения экспериментальных данных и составления таблицы:

(1.26)

Видно, что вторая гармоника в составе сигнала отсутствовала. Повысим точность измерений и представим вектор у следующими данными:

y = [l2.6937 33.7823 52.0270 60.8661 57.8116 45.7234 ...

31.0608 20.1415 15.5952 15.0802 12.9958 4.1658 -12.6937]Т

B этом случае у условно можно считать вектором детерминированных сигналов.

Чтобы убедиться практически в отсутствии шума в элементах у, оценим вновь искомые величины с помощью метода наименьших квадратов. B результате получим

(1.27)

Используя элементы вектора-столбца (1.27) для оценки амплитуд и фаз гармоник, будем иметь



Таким образом, оценочные значения практически совпадают с принятыми исходными данными.

Теперь определим вектор шума z, представляющий собой разность между у и у1:

z = y – y1 = [-0.0063 -0.0177 0.0270 -0.0339 0.0116 0.0234 ...

-0.0392 0.0415 -0.0048 -0.0198 -0.0042 -0.0342 0.0063]T

Для оценки z используем критерий (1.13)



Аналогичный результат получим, если воспользуемся эвклидовой нормой согласно правилу (1.18). Вычисления в среде MatLAB выполним с помощью оператора



Заметим, что полученные величины J не характеризуют "качество" моделирования. Адекватность модели и объекта, представленного вектором y1, может быть установлена по вектору z1, где

z1 = y1 – yм= [-0.0056 0.0166 -0.0271 0.0309 -0.0150 -0.0223 ...

0.0462 -0.0330 0.0660 0.0091 -0.0166 0.0153 -0.0061]Т

Вектор ум, в свою очередь, следует восстановить, используя матрицу H и вектор наилучшей оценки

yм = = [l2.7056 33.7834 52.0271 60.8691 57.8150 45.7223 ...

31.0538 20.1330 15.5934 15.0909 13.0166 4.1847 -12.6939]T

хххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

% sah744.m

% ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАГРУЗКИ ОБОРУДОВАНИЯ

% В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ





% Источник: File 'sah376.m'.

% Формулировка задачи:имеются три станка, на которых изготовляются

% четыре вида деталей.

% На изготовление одной детали первого вида требуется израсходовать

% a11=0.5(долл/дет.), второго вида

% a12=0.6 (долл/дет.),третьего вида- a13=0.2(долл/дет.) и четвертого вида-

% a14=1.5 (долл/дет.)

% Аналогично для изготовления одной детали каждого вида на втором станке

% требуется затратить долл.:a21=1.0; a22=0.7; a23=0.1; a24=1.1.Значения стоимостей

% a31=0.8; a32=0.9; a33=0.3;a34=0.9. Единицы измерения те же. Необходимо

% выпустить деталей первого вида 100, второго вида 500, третьего вида 2000 и четвертого вида 1000.

% Время изготовления Tij j-ой детали на i= ом станке (в минутах)представлено

% в матричной форме



T=[11.0 13.0 5.0 33.0;

22.0 16.0 4.0 25.0;

20.0 18.0 7.0 21.0];

% Максимальный резерв времени работы станков: первого 3000ч, второго 2500ч

% и третьего 2800ч. Необходимо найти наименьшую стоимость изготовления деталей

% (либо минимальное суммарное время загрузки станков) при условии выпуска

% продукции, определенной вектором

% beq=[100 500 2000 1000]' (см.текст файла).



% Использование функции 'linprog'.

Aeq=[1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0;

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0;

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0;

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1];

A=[11.0 13.0 5.0 33.0 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 22.0 16.0 4.0 25.0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 20.0 18.0 7.0 21.0];

beq=[100 500 2000 1000]';

b=[8000 10000 20000]';

vlb=zeros(12,1);vub=[];

f=[0.5 0.6 0.2 1.5 1.0 0.7 0.1 1.1 0.8 0.9 0.3 0.9];

[x,J]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,[])

% Проверка решения:

z1=Aeq*x;

z2=A*x;

[z1 beq]

[z2 b]

% sah744

%Optimization terminated.

%x =

% 1.0e+003 *

%0.1000

%0.5000

%0.0000

%0.0000

%0.0000

%0.0000

%2.0000

%0.0476

%0.0000

%0.0000

%0.0000

%0.9524

%J =

% 1.4595e+003

%ans =

% 1.0e+003 *

% 0.1000 0.1000

% 0.5000 0.5000

% 2.0000 2.0000

% 1.0000 1.0000

%ans =

%1.0e+004 *

%0.7600 0.8000

%0.9190 1.0000

%2.0000 2.0000



%============================================

% ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

T=[];

for i=1:25;

tau=round(18*rand(1,12)+3);

T=[T;tau];

end

f=T

% 12 18 7 13 14 4 14 10 4 12 6 5

% 7 6 6 4 14 8 13 16 12 13 11 5

% 12 18 19 8 7 13 15 11 7 20 4 5

% 6 6 14 13 4 20 16 16 4 18 20 21

% 18 17 12 6 10 5 4 20 8 8 9 11

% 15 3 18 13 18 9 11 4 6 15 9 19

% 5 21 13 16 21 8 10 11 17 18 5 6

% 9 4 12 9 6 7 19 15 11 19 5 16

% 16 13 6 14 8 5 7 19 4 7 4 11

% 3 19 7 5 9 11 5 21 9 8 4 8

% 4 12 17 14 5 4 17 19 13 5 18 9

% 8 16 3 4 15 14 12 16 16 17 8 15

% 13 10 4 17 9 14 16 5 5 13 12 19

% 17 16 4 4 5 17 20 15 5 16 5 5

% 15 9 15 16 13 16 7 16 20 19 5 10

% 10 15 14 17 10 7 5 17 7 10 13 7

% 15 12 6 17 5 8 7 13 5 10 5 5

% 17 8 14 20 11 16 17 11 15 5 20 6

% 8 17 12 17 10 8 4 15 11 11 14 4

% 9 17 16 5 5 5 3 11 15 16 13 5

% 14 5 5 5 6 6 7 9 9 7 8 19

% 16 13 6 7 4 19 16 13 9 6 14 21

% 6 8 10 4 15 10 21 10 14 6 10 6

% 17 19 9 15 8 13 18 14 9 8 11 11

% 9 13 16 11 11 5 3 8 9 15 20 20

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

Операции над матрицами

Вариант1.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант2.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 3.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 4.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 5.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 6.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 7.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 8.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 9.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 10.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 11.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 12.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 13.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 14.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Вариант 15.

Задание 1.

Найдите значение матричного выражения



Задание 2.

Вычислите определитель



Задание 3.

Решите систему уравнений по формулам Крамера и проверьте решение подстановкой



Обратная МАТРИЦА , МАТР. УРАВНЕНИЯ

Вариант 1.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 2.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 3.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 4.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 5.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 6.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 7.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 8.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 9.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 10.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 11.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 12.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 13.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 14.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Вариант 15.

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = .

Проверьте выполнение равенства .

Задание 2. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.



Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения . Проверьте решение подстановкой.

СИСТЕМЫ ЛИН. УРАВНЕНИЙ

Вариант 1.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 2.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 3.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 4.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 5.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 6.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 7.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 8.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 9.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 10.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 11.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 12.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 13.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 14.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

Вариант 15.

Задание 1. При помощи команды lsolve решить систему

Проверить решение подстановкой.

Задание 2. Исследовать систему на совместность и определённость. Для этого найти ранги расширенной матрицы и матрицы коэффициентов при неизвестных при помощи команды rank и сравнить. Убедившись, что система неопределённая, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду командой rref. По ступенчатой матрице определить свободные и главные неизвестные. Обозначить свободные неизвестные какими-либо буквами-параметрами и выразить все неизвестные через параметры, взяв коэффициенты из ступенчатой матрицы. Записать общее решение в виде столбца с параметрами. Проверить общее решение подстановкой.



Задание 3. Найти значение параметра р, при котором система имеет ненулевые решения. При этом значении р найти решение, в котором одна из неизвестных равна 1. Проверить решение подстановкой.

ВЕКТОРЫ. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Вариант 1.

Задание 1. Даны два вектора и .

Найти их длины , ; сумму ; линейную комбинацию ;

скалярное произведение ; векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 2.

Задание 1. Даны два вектора и . Найти их длины , ;

сумму ; линейную комбинацию ; скалярное произведение ;

векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 3.

Задание 1. Даны два вектора и .

Найти их длины , ; сумму ; линейную комбинацию ;

скалярное произведение ; векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 4.

Задание 1. Даны два вектора и . Найти их длины , ;

сумму ; линейную комбинацию ; скалярное произведение ;

векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 5.

Задание 1. Даны два вектора и .

Найти их длины , ; сумму ; линейную комбинацию ;

скалярное произведение ; векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 6.

Задание 1. Даны два вектора и . Найти их длины , ;

сумму ; линейную комбинацию ; скалярное произведение ;

векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 7.

Задание 1. Даны два вектора и .

Найти их длины , ; сумму ; линейную комбинацию ;

скалярное произведение ; векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 8.

Задание 1. Даны два вектора и . Найти их длины , ;

сумму ; линейную комбинацию ; скалярное произведение ;

векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 9.

Задание 1. Даны два вектора и .

Найти их длины , ; сумму ; линейную комбинацию ;

скалярное произведение ; векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 10.

Задание 1. Даны два вектора и . Найти их длины , ;

сумму ; линейную комбинацию ; скалярное произведение ;

векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 11.

Задание 1. Даны два вектора и .

Найти их длины , ; сумму ; линейную комбинацию ;

скалярное произведение ; векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 12.

Задание 1. Даны два вектора и . Найти их длины , ;

сумму ; линейную комбинацию ; скалярное произведение ;

векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 13.

Задание 1. Даны два вектора и .

Найти их длины , ; сумму ; линейную комбинацию ;

скалярное произведение ; векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 14.

Задание 1. Даны два вектора и . Найти их длины , ;

сумму ; линейную комбинацию ; скалярное произведение ;

векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Вариант 15.

Задание 1. Даны два вектора и .

Найти их длины , ; сумму ; линейную комбинацию ;

скалярное произведение ; векторное произведение ;

угол ( в градусах) между векторами и .

Задание 2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе, а старый и новый базисы связаны соотношениями.



Задание 3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Задание 4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задание 5. Найти объём, площадь основания АВС и высоту пирамиды с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.



КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ

Вариант 1.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 2.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 3.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 4.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 5.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 6.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 7.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 8.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 9.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 10.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 11.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 12.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 13.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 14.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

Вариант 15.

Задание 1. Для комплексного числа найдите его действительную часть, мнимую часть, модуль, аргумент, и сопряжённое к нему число, пользуясь соответственно командами

Re, Im, , arg, .

Задание 2. Перемножьте многочлены и приведите подобные члены командой collect

.

Задание 3. Разложите на множители многочлен командой factor

.

Задание 4. Разделите многочлен на многочлен с остатком командами Symbolics, Variable, Convert to Partial Fraction.

Задание 5. Найдите все корни многочлена сначала точно командой solve, затем приближённо командой polyroots, при этом столбец коэффициентов многочлена найдите командой coeff.

СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

Вариант 1.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 2.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 3.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 4.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 5.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму





к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 6.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 7.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 8.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 9.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 10.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 11.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 12.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 13.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 14.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

Вариант 15.

Задание 1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

двумя способами:

1 способ. Найдите собственные числа, решая характеристическое уравнение с помощью команды solve, затем для каждого собственного числа, решая неопределённую систему, найдите собственный вектор. Этим способом Вы получите точный ответ. Проверьте ответ согласно определению собственного числа и собственного вектора матрицы.

2 способ. Примените команды eigenvals и eigenvecs. Этим способом получится приближённый ответ. Проверьте и его.

Задание 2. Приведите квадратичную форму



к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.

ПРЕДЕЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ

Вариант 1.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y = , y = , y = , y = , y = .

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = 1.

Вариант 2.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y = , y = , y = , y = , y = .

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = 0.

Вариант 3.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y = , y = , y = , y = , y = .

Задание 3. Найдите значения производных функции y =

в точке х = 0.

Вариант 4.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y =, y =, y =, y = , y = .

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = 1.

Вариант 5.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y = , y = , y = , y = , y =

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = -1.

Вариант 6.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y = , y = , y = , y = , y = .

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = -1.

Вариант 7.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y = , y =, y =, y =, y = .

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = 0.

Вариант 8.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y =, y = , y =, y =, y =.

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = 0.

Вариант 9.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y =, y =, y =, y =, y =.

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = 1.

Вариант 10.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y =, y =, y =, y =, y =.

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = 1.

Вариант 11.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y = , y =, y =, y =, y =.

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = 0.5.

Вариант 12.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y =, y = , y =, y =, y =.

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = 0.

Вариант 13.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y =, y = , y =, y =, y =.

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = 1.

Вариант 14.

Задание 1.

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y = , y = , y = , y = , y =

Задание 3. Найдите значения производных функции y = в точке х = 0.

Вариант 15.

Задание 1. Найдите пределы

, , , , .

Задание 2. Найдите производные функций

y = , y = , y = , y = , y =

Задание 3. Найдите значения производных функции y = arctg x в точке х = 1.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

Вариант 1.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.25.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом (cross), сетку (gridline) по оси Х из 4 линий, по оси Y из 5 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 2.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.2.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 8 линий, по оси Y из 6 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 3.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.25.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 4 линий, по оси Y из 5 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 4.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.1.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 4 линий, по оси Y из 5 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 5.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.5.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 5 линий, по оси Y из 5 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 6.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.25.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 6 линий, по оси Y из 6 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 7.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.4.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 4 линий, по оси Y из 5 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 8.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.25.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 8 линий, по оси Y из 8 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 9.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.1.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 10 линий, по оси Y из 6 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 10.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.5.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 4 линий, по оси Y из 4 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 11.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.1.

Задание 2. Построить график функции на промежутках . Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 4 линий, по оси Y из 10 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 12.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.2.

Задание 2. Построить график функции на промежутках . Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 4 линий, по оси Y из 6 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 13.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.5.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 5 линий, по оси Y из 6 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 14.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.75.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 4 линий, по оси Y из 5 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

Вариант 15.

Задание 1. Выведите на экран таблицу из 20 значений функции

на промежутке с шагом 0.25.

Задание 2. Построить график функции на промежутках .

Последовательным нажатием кнопок Format, Graph, X-Y Plot откройте панель форматирования графика и закажите оси крестом, сетку по оси Х из 4 линий, по оси Y из 4 линий. Линию графика сделайте синей толщины 2. Расширьте график на весь экран.

Задание 3. Построить график функции, заданной параметрически на промежутке изменения параметра . Параметры графика подберите так, чтобы вся линия была хорошо видна.

Задание 4. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

.

Кнопками Format, Graph, Polar Plot откройте панель форматирования и подберите параметры. Расширьте график на весь экран.

НУЛИ, ЭКСТРЕМУМЫ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

Вариант 1.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 2.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 3.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 4.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 5.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 6.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 7.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 8.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 9.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 10.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 11.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 12.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 13.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 14.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

Вариант 15.

Задание 1. Постройте совместно графики функции f(x) = , её производной и второй производной . Промежутки изменения х и у выберите так, чтобы были видны точки пересечения всех трёх графиков с осью Х, а также экстремумы и точки перегиба графика f(x).

Задание 2. Закажите точность командой TOL:=. При помощи команды root найдите все нули функции f(x) и проверьте полученные значения подстановкой. Запишите полученные невязки.

Задание 3. Найдите точки экстремума f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках экстремума.

Задание 4. Найдите точки перегиба f(x) как нули функции . Проверьте полученные значения подстановкой в . Запишите полученные невязки. Найдите значения f(x) в точках перегиба.

ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх

АндриановЕвгенийНиколаевич

СахаровВладимирВасильевич

Компьютерное моделирование и оптимизация режимов работы

портовой перегрузочной техники

Учебное пособие

Печатается в авторской редакции



Подписано в печатьСдано в производство

Лицензия № 000283 от 19.10.98 Формат 60×84 1/16Усл.-печ.

Уч.-изд.л.Тираж 100 экз.Заказ №



Отпечатано в ИИЦ ФГОУ ВПО СПГУВК

198035, Санкт-Петербург, Межевой канал, 2