Сетевая библиотекаСетевая библиотека

Гл. 7.1 7.7. Функ. неск. перем. 32с.

Дата публикации: 20.04.2017
Тип: Текстовые документы DOC
Размер: 2.94 Мбайт
Идентификатор документа: -128297026_444442152
Файлы этого типа можно открыть с помощью программы:
Microsoft Word из пакета Microsoft Office
Для скачивания файла Вам необходимо подтвердить, что Вы не робот


Не то что нужно?


Вернуться к поиску
Глава 7. Функции нескольких переменных 7.1. Пространство Rn. Множества в линейном пространстве. Множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы из n действительных чисел , обозначается и называется n-мерным арифметическим пространством, а число n называется размерностью пространства. Элемент множества называется точкой пространства, или вектором, а числа координатами этой точки. Точка =(0, 0, …0) называется нулевой или началом координат. Пространство – есть множество действительных чисел, т.е. – числовая прямая; и – есть двумерная координатная геометрическая плоскость и трехмерное координатное геометрическое пространство соответственно. Векторы , , …, называются единичным базисом. Для двух элементов , множества определяются понятия суммы элементов и произведения элемента на действительное число: Очевидно, что и в силу этого определения и свойств действительных чисел справедливы равенства: ; ; ):: ; ; . Согласно этим свойствам, пространство называется также линейным (векторным) пространством. В линейном пространстве определяется скалярное произведение элементов и как действительное число, вычисляемое по следующему правилу: , (1) Число называется длиной вектора или нормой . Векторы и называются ортогональными, если . Величина ,)= │ - │ = называется расстоянием между элементами и . Если и ненулевые векторы, то углом между ними называется угол , такой, что . Легко убедиться, что для любых элементов и действительного числа , выполняются скалярного произведения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , при . Линейное пространство с определенным в нем по формуле (1) скалярным произведением называется евклидовым пространством. Пусть точка и . Множество всех точек для которых выполняются неравенства , называется n-мерным кубом с ребром и с центром в точке . Например, двумерный куб есть квадрат со стороной с центром в точке . Множество точек , удовлетворяющих неравенству , называются n-мерным шаром радиуса с центром в точке , который также называют -окрестностью точки в и обозначают , т.е. . Таким образом, одномерный шар есть интервал длиной . Двумерный шар есть круг, для которого выполняется неравенство . Определение 1. Множество называется ограниченным, если существует n - мерный шар, содержащий это множество. Определение 2. Функция, заданная на множестве натуральных чисел и принимающая значения, принадлежащие , называется последовательностью в пространстве и обозначается , где . Определение 3. Точка называется пределом последовательности, если для произвольного положительного числа существует натуральное число , такое что для любого числа выполняется неравенство . Символически это определение записывается следующим образом: . Обозначение: . Из определения 3 следует, что , при . Такая последовательность называется сходящейся к . Если последовательность не является сходящейся ни к одной точке, то она называется расходящейся. Теорема 1. Для того чтобы последовательность сходилась к точке необходимо и достаточно, чтобы для любого номера выполнялось , т.е. чтобы последовательность i - х координат точек сходилась к i - й координате точки . □ Доказательство следует из неравенств . ( Последовательность называется ограниченной, если множество её значений ограничено, т.е. . Как и числовая последовательность, сходящаяся последовательность точек ограничена и имеет единственный предел. Определение 4. Последовательность называется фундаментальной (последовательностью Коши), если для любого положительного числа можно указать такое натуральное число , что для произвольных натуральных чисел и , больших , выполняется , т.е. : . Теорема 2 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. □ Необходимость. Пусть сходится к точке . Тогда получаем последовательность , сходящуюся к . В силу критерия Коши для действительных чисел каждая из этих числовых последовательностей фундаментальная. Отсюда для любого произвольного положительного числа найдется такое, что для произвольных положительных и , больших, чем , выполнится . Обозначим . Тогда при имеет место неравенство . А это означает, что последовательность фундаментальная. Достаточность. Пусть – фундаментальная последовательность. Тогда из неравенств следует, что каждая из числовых последовательностей фундаментальна. В силу критерия Коши для действительных чисел каждая из этих последовательностей сходится: . Следовательно, по теореме 1 последовательность сходится. ( В пространстве существуют различные типы точек и множеств. • Точка множества называется внутренней точкой этого множества, если существует - окрестность содержащаяся в X: . • Множество, каждая точка которого является его внутренней точкой, называется открытым множеством в . Понятно, что пространство является открытым множеством. • Точка называется точкой прикосновения множества X, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку множества Х. • Точка называется изолированной точкой множества Х, если существует окрестность этой точки, не содержащая других точек множества Х, отличных от . • Точка называется предельной точкой множества Х, если в любой её окрестности содержится хотя бы одна точка множества, отличная от . • Точка называется граничной точкой множества Х, если любая ее окрестность содержит как точку, принадлежащую множеству Х, так и точку, не принадлежащую множеству Х. Все граничные точки множества Х называются границей множества Х и обозначают . Пример. Для множества определить внутренние, предельные, изолированные и граничные точки, а также точки прикосновения. Решение. Внутренние точки – все точки круга. Точки прикосновения – все точки множества. Изолированная точки . Предельные точки – точки множества. Граничные точки – точки, удовлетворяющие уравнениям: , и . • Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Множество всех точек прикосновения называют замыканием множества Х и обозначают . • Если и , то число называют расстоянием между множествами X и Y. Диаметром множества Х называют число . • Непрерывной кривой Г в называется множество точек , координаты которых есть непрерывные функции параметра , заданного на отрезке , т.е. , , …, , где . Число называют параметром, а сами уравнения параметрическими уравнениями кривой. Например, система уравнений , , …, при и задает прямую в . Если , то эта система задает отрезок прямой. • Множество называют линейно-связанным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству. Линейно-связанное открытое множество Х называют областью в . Если Х – область, то ее замыкание называют замкнутой областью. • Множества X и Y называют отделимыми, если ни одно из них не содержит точек прикосновения другого. • Множество Х называют связанным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух отделимых множеств. • Множество Х называют выпуклым, если любые его две точки можно соединить отрезком, целиком принадлежащим этому множеству. Пример. Опираясь на сформулированные выше определения, можно утверждать, что – связанное, линейно-связанное, открытое, невыпуклое множество, является областью. – связанное, линейно-связанное, неоткрытое, невыпуклое множество, не является областью. – несвязанное, не линейно-связанное, открытое, невыпуклое множество, не является областью. – несвязанное, не линейно-связанное, открытое множество, не является областью. – связанное, линейно-связанное, открытое множество, является областью. 7.2. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Определение 5. Пусть множество в , и каждой точке поставлено в соответствие единственное действительное число . В этом случае говорят, что на множестве Х определена числовая функция n переменных или функция нескольких переменных. Правило, по которому устанавливается соответствие, обозначают некоторой буквой, например и пишут или , . Другими словами функция n переменных есть отображение множества на множество : , где . Множество Х является областью определения функции , а называют аргументом или независимой переменной. Функция называется элементарной, если она задана с помощью конечного числа арифметической операции и суперпозиций элементарных функций одной переменной. Определение 6. Графиком функции называют множество точек связанных соотношением . Примеры. 1) Функция является линейной функцией n переменных и называется гиперплоскостью. Область определения её все точки, принадлежащие . 2) Функция называется эллиптическим параболоидом. Если a=b, то это параболоид вращения. Область определения ее множество (нарисовать график). 3) Для функции область определения получается из условия . Откуда следует, что выполнятся неравенства (. Таким образом, областью определения являются концентрические кольца с центром в начале координат. 4) Функция n-переменных называется квадратичной формой (квадратичная функция n переменных). Пусть определяется на и есть предельная точка множества Х. Определение 7 (О.Л. Коши 1789-1857 фр.). Число называется пределом функции в , если для любого положительного можно указать положительное число такое, что из выполнения условия для любого следует выполнение неравенства . Это определение символически можно записать следующим образом: : . Определение 8. (Г.Э.Гейне 1821-1881 нем.). Число называется пределом в точке , если , сходящейся к следует, что последовательность сходится к . Как и для функции одной переменной доказывается, что определения 7 и 8 равносильны. Предел функции многих переменных обозначается или . Пример. Найти . Решение. Докажем, что предел равен 0. Выберем , возьмем , такое, что , удовлетворяющих условию и отличных от начала координат справедливо неравенство: . Для пределов функций нескольких переменных справедливы следующие утверждения, аналогичные соответствующим теоремам для функций одной переменной. • Если имеет предел при , то он единственный. • Критерий Коши. Для того, чтобы имела конечный предел при необходимо и достаточно, чтобы , такое что для из выполнения условий и следовало бы выполнение неравенства. • Пусть и функции с общей областью определения и существуют пределы и . Тогда существуют пределы функций , и и имеют место равенства: , , , . Определение 9. Число называется пределом функции при , если и записывается . Определение 10. Пусть и , при . Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка при . Если , то функции и называются эквивалентными при . Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка по отношению к . Определение 11. Число называют пределом функции по множеству в точке , если , такое что для произвольного из выполнения условия следует . Обозначение . Это обобщение предела функции в точке, на тот случай, когда функция рассматривается не во всей окрестности точки , а на некоторой ее части. Если есть непрерывная кривая Г, проходящая через точку , то называют пределом по кривой Г. В частности, если Г – есть прямая линия с направленным единичным вектором , , то предел по Г называют пределом по направлению вектора . Для функции n-переменных при можно рассматривать n, так называемые, повторные пределы. В частности для функции двух переменных можно рассматривать два повторных предела в точке : и . Если оба повторных предела существуют, то они не обязательно равны между собой. Пример. Найти предел функции в точке . Решение. . . Теорема 3. Если функция определена в , , за исключением может быть самой точки , существует предел и существуют пределы , тогда существуют и повторные пределы и , которые равны между собой и равны : . □ По определению предела функции двух переменных имеем, что существует , такое что, если , то есть . Отсюда следует, что . Переходя к пределу в этих неравенствах при , получим, что при имеет место неравенство . Отсюда следует, что . Таким образом, . Аналогично доказывается, что . ( Пусть определена на . Определение 12. Функция называют непрерывной в точке , если – предельная точка множества X; – определена в точке и . На языке последнее означает, что , такое, что . Другими словами, если , то тогда . Если не является непрерывной в точке , то она называется разрывной в этой точке, а точку называют точкой разрыва. Можно доказать, что всякая элементарная функция является непрерывной в каждой точке, в которой она определена. Примеры. 1) Исследовать функцию на непрерывность. Решение. Функция всюду определена и непрерывна, кроме точки . Ранее было показано, что . Тогда точка (0, 0) является точкой устранимого разрыва, т.к. неопределенна, но предел существует и равен 0. Если доопределить , то получим непрерывную функцию. 2) Исследовать функцию на непрерывность. Решение. Функции и непрерывны при всех как многочлены. По теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций вытекает, что и непрерывны. Так как при любых значениях и , то непрерывна. Определение 13. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Как и для функций одной переменной справедливы следующие утверждения. • Если функции и определены на множестве и непрерывны в точке , то в определены и непрерывны функции , , . • Если определена и непрерывна в , тогда существует окрестность точки , в которой выполняется условие . Это означает, что функция ограничена в окрестности этой точки. • Если определена и непрерывна в точке и , то существует такая окрестность этой точки, в которой сохраняет знак. • Если функции , , …, непрерывны в точке , а функция непрерывна в точке , где , , то сложная функция непрерывна в точке . Эти теоремы доказываются так же, как теоремы для функций одной переменной. Справедлива также теорема. Теорема 4 (Коши о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть непрерывна на линейно-связанном множестве , причем и значения в точках , а такое, что . Тогда на любой непрерывной кривой Г, соединяющей точки и , целиком принадлежащей Х существует такая точка , что . ( Пусть , , …, , – параметрические уравнения кривой , соединяющей точки и из множества и . Тогда на отрезке определена сложная функция одной переменной , где . Очевидно, значение этой функции на отрезке совпадают со значениями на . По теореме о непрерывной сложной функции она непрерывна, а, следовательно, по теореме о прохождении промежуточных значений для функции одной переменной : . Поэтому в точке , координаты которой , , …, будет справедливо равенство. ( Определение 14. Функция называется равномерно-непрерывной на множестве , если для любого положительного найдется такое положительное число , что для и из множества Х таких, что при выполняется неравенство . Это же определение на языке записывается следующим образом . Имеют место утверждения, аналогичные теоремам для функции одной переменной. • Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то ограничена на этом множестве (первая теорема Вейерштрасса). • Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то достигает на точных верхней и нижней граней, т.е. (вторая теорема Вейерштрасса). • Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то равномерно непрерывна на множестве (теорема Кантора). 7.3. Частные производные и дифференциал Пусть точка является внутренней точкой области задания функции . Дадим приращение -й координате точки и рассмотрим разность значений функции в точках и . Приращение функции называют частным приращением функции в точке . Определение 15. Предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента при (если он существует) называется частной производной функции в точке по аргументу и обозначается одним из следующих символов: . Таким образом, получаем . (5) Отметим, что частная производная функция по переменной представляет собой обыкновенную производную по переменной при фиксированных значениях остальных переменных. Вычисления частных производных выполняются по обычным правилам, определенным для функции одной переменной. Примеры. 1) Найти частные производные функции . Решение. . 2) Найти частные производные функции . Решение. , . Если задать приращения по всем переменным в точке , то получим полное приращение функции: . Определение 16. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде . (6) где некоторые не зависящие от числа, а бесконечно малые величины при , , …, , т.е. . Соотношение (6) называют условием дифференцируемости функции в точке . Его еще можно записать так: , (7) где , при . Нетрудно показать, что равенства (6) и (7) эквивалентны. Если хотя бы одно из чисел отлично от 0, то сумма называется главной, линейной относительно приращений аргументов, частью полного приращения функции. Например, для функции двух переменных приращение функции , а главная часть приращения . Теорема 5. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем , , где определяется из условия (6) или (7) дифференцируемости функции. ( Из условия (6) следует, что частное приращение по переменной будет иметь вид . Отсюда , при . Тогда . ( Следствие 1. Условие дифференцируемости можно записать в виде . (8) Для функции : . Следствие 2. Если дифференцируема в точке , то преставление ее полного приращения в формуле (6) или (7) единственно. Теорема 6. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. ( Полное приращение функции имеет вид (6) или (7). Найдем предел при , где . . Отсюда . Следовательно, по определению непрерывная в точке ( Теорема 7. Если функция имеет непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки , то дифференцируема в этой точке. ( Рассмотрим доказательство для функции двух переменных . Пусть существуют непрерывные и в окрестности точки . Дадим аргументам приращения и . Тогда полное приращение в точке можно записать так: (9) Первую скобку можно рассматривать как приращение функции по одной переменной . Так как функция имеет частные производные, то, используя формулу Лагранжа, получим . Аналогично . Здесь и Поскольку производные и непрерывные то можно записать: , , где . Подставляя всё это в (9) получим . А это означает, что функция дифференцируема в точке . ■ Определение 17. Дифференциалом du дифференцируемой в точке функции называется главная, линейная относительно приращений всех аргументов, часть полного приращения функции в этой точке. Если все коэффициенты в (6) или (7) дифференцируемой функции равны нулю, то и дифференциал в этой точке считается равным нулю. По теореме будем иметь: (10) В частности, для функции двух переменных получаем: Дифференциалом независимой переменной будет называться число равное приращению , т.е. . Тогда (10) можно записать в виде . (11) Заметим, что формула (11) справедлива, если независимые переменные. Но ниже будет доказано, что ее можно использовать, когда являются дифференцируемыми функциями некоторых переменных. Если и дифференцируемые функции, то справедливы следующие соотношения, которые легко проверять по определению: , , . Полный дифференциал применяется при приближенных вычислениях значений функции. При достаточно малом имеет место приближенное равенство , или, подробно . Если для функции известны максимальные погрешности значений переменных, то максимальная абсолютная погрешность при вычислении значения функции составляет , а максимальная относительная погрешность равна В некоторых задачах прикладного характера полезно понятие линеаризации функции. Пусть функция двух переменных дифференцируема в точке , тогда . Заменяя , получим . В правой части этого равенства стоит линейная функция двух переменных. Замена функции в окрестности точки линейной функцией называется её линеаризацией. Аналогично производится линеаризация функции n переменных в окрестности точки . Примеры. 1) Найти дифференциал функции . Решение. . 2) Вычислить приближенное 1,013,02 . Решение. Рассмотрим функцию . Искомое число будем рассматривать как значение функции при , , где , , , . Тогда . 3) Высота конуса см, радиус основания см. Как изменится объем конуса, если Н увеличить на 3 мм., а уменьшить на 1 мм. Решение. Объем конуса равен . Изменение объема заменим приближенно дифференциалом см 3. 7.4. Дифференцирование сложных функций Пусть для функции n - переменных аргументы являются также функциями переменных : (12) Справедлива следующая теорема о дифференцировании сложной функции. Теорема 8. Если функции дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , где , . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем частные производные определяются по формулам где частные производные вычисляются в точке , а вычисляются в точке . ( Докажем эту теорему для функции двух переменных. Пусть , а . Пусть и произвольные приращения аргументов и в точке . Им соответствуют приращения функций и в точке . Приращениям и соответствует приращение функции в точке . Так как дифференцируема в точке , то ее приращение может быть записано в виде , (13) где и вычисляются в точке , при и . В силу дифференцируемости функций и в точке , получаем (14) где вычисляется в точке ; . Подставим (14) в (13) и перегруппируем слагаемые . Заметим, что при , так как и стремятся к нулю при . Это следует из того, что бесконечно малые при и . Но функции и дифференцируемы, а, следовательно, и непрерывны в точке . Поэтому если и , то . Тогда и при . Так как частные производные вычисляются в точке , то получаем . Обозначим (15) Тогда , а это и означает, что дифференцируема по переменным и , причем и . ( Следствие. Если , причем , , т.е. , то производная по переменной t вычисляется по формуле . Если , то . Последнее выражение называется формулой полной производной для функции многих переменных. Примеры. 1) Найти полную производную функции , где , . Решение. =. 2) Найти полную производную функции , если , . Решение. . Используя правила дифференцирования сложной функции, получим одно важное свойство дифференциала функции многих переменных. Если независимые переменные функции , то дифференциал по определению равен: . (16) Пусть теперь аргументы есть дифференцируемые функции в некоторой точке функции по переменным , а функция дифференцируема по переменным , . Тогда можно рассматривать как сложную функцию переменных , . Она по предыдущей теореме дифференцируема и имеет место соотношение , (17) где определяется по формулам (12). Подставим (12) в (17) и, собирая коэффициенты при , получим . Поскольку коэффициент при производной равен дифференциалу функции , то для дифференциала сложной функции получили снова формулу (16). Таким образом, формула первого дифференциала не зависит от того, являются ли ее аргументы функциями, или они независимыми. Это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала. 7.5. Производная по направлению и градиент Пусть функция определена на открытом множестве и . Рассмотрим прямую : , где . Здесь – направляющий вектор прямой (рис.1). В координатном виде уравнения кривой записать следующим образом: ….. Здесь вектор единичный вектор, проходящий через точку . Определение 18. Производной по направлению вектора (прямой ) в точке называют предел по множеству . (18) Если , то совпадает с направлением оси и производная по направлению совпадает с частной производной . Запишем (18) подробнее. Так как , , то . По теореме о дифференцировании сложной функции имеем (19) В частном случае, в пространстве , формула (19) для функции в точке по направлению , формула имеет вид . (20) Определение 19. Градиентом дифференцируемой в точке функции называется n – мерный вектор . (21) В пространстве формула (21) имеет вид : На плоскости Oxy : С помощью символического оператора, который называется оператором Гамильтона, градиент в R3 также обозначают Используя понятие градиента можно в векторной форме записать формулу полного приращения функции в точке : , а также дифференциал функции , и производную функции по направлению , (22) где – вектор приращений аргумента, - вектор бесконечно малых. Свойства градиента: 1. Если вектор градиент функции тождественно равен нулю для любого , то функция постоянна на множестве Х. 2. Если и – дифференцируемые функции в , то справедливы следующие соотношения а) ; б) ; в) , где дифференцируемая функция одной переменной . Справедливость этих свойств следует из определения градиента и свойств векторов. 3. Производная функции по направлению вектора (рис.2) принимает наибольшее значение в направлении и равна модулю , т.е. . ( Из (22) следует . Так как , то . ( Таким образом, есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания. 4. Пусть дифференцируемая функция, и () параметрические уравнения некоторой гладкой кривой Г, удовлетворяющие условию . (23) Такая кривая называется линией уровня функции . Вектор (рис 7.3) является касательным вектором к кривой Г, а – радиусом-вектором точки М. Продифференцируем (23) по t как сложную функцию: , . Обозначим . Тогда в векторном виде будем иметь , т.е. скалярное произведение двух векторов рано нулю. Это означает, что в каждой точке линии уровня векторы и , т.е. вектор градиент и касательный вектор к кривой ортогональны, или вектор градиент в каждой точке ортогонален линии уровня. Примеры. 1) Найти наибольшее значение в точке , если . Решение. Найдем в точке М: ; . Тогда 2) Найти производную функции в точке по направлению внешней нормали к окружности в точке . Решение. Производная по направлению вычисляется, как скалярное произведение и вектора направления (внешняя нормаль) Вычислим в точке М: , . Вычислим вектор в точке М. Для этого в уравнении окружности определим зависимость х и у от параметра : , . Так как точка М принадлежит окружности, получаем и . Отсюда . . Поскольку векторы и ортогональны, то координаты вектора нормали находятся из соотношения . Отсюда получаем, , . Нормируем вектор : , . Производная по направлению нормали к окружности в точке М равна . 7.6. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора Пусть имеет в некоторой окрестности точки все частные производные первого порядка , , . Эти частные производные сами являются функциями n переменных в . Тогда они могут иметь частные производные, т.е. в точке можно определить следующие величины , , (24) которые называют частными производными второго порядка или вторыми частными производными. Если , то соотношения (24) задают так называемые смешанные частные производные. Например, для функции двух переменных существует четыре частных производных второго порядка: . Пример. Найти все частные производные второго порядка для функции . Решение. , , , . Имеют место следующие две теоремы о равенстве смешанных производных функции . Теорема 9 (К. Г. Шварц ,1848-1921 нем.). Пусть функция в некоторой окрестности точки имеет смешанные производные второго порядка и , причем они непрерывны в точке . Тогда в точке эти частные производные равны между собой . Без доказательства. Теорема 10 (У. Г. Юнг, 1863-1942 англ.). Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и дифференцируемы в этой точке. Тогда вторые смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования . (25) ( Доказательство проведем для случая функции двух переменных . Пусть точка, в которой вычисляются производные. Докажем справедливость равенства . Рассмотрим функцию в окрестности точки , такую что . Обозначим . Тогда . Так как имеет частные производные первого порядка в , то дифференцируема по , и, следовательно, к можно в окрестности применить формулу конечных приращений Лагранжа. (26) . Так как производные и дифференцируемы в точке , то приращения в квадратных скобках (26) можно также записать по формуле Лагранжа , где и при , т.е. . Аналогично, получаем , где при . Подставим это выражение в (26): , где . Аналогично, если представить , где , то можно получить , где и . Тогда, приравнивая , будем иметь: , а переходя к пределу при получим (25). ( Теоремы Шварца и Юнга справедливы и при n>2. Определение 20. Функция называется дважды дифференцируемой в точке, если все первые частные производные дифференцируемы в этой точке. В общем случае, называют n-раз дифференцируемой, если все ее частные производные (n-1)-го порядка являются дифференцируемыми функциями, а частная производная первого порядка от (n-1)-ой производной называется производной n-го порядка. Можно показать, что если функция является n раз дифференцируемой, то смешанные частные производные до n-го порядка не зависят от порядка, в котором производится дифференцирование. Пример. Найти функции . Определение 21. Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) дважды дифференцируемой в некоторой окрестности точки , функции называют следующий однородный многочлен второй степени относительно переменных . (27) В частности, если , то . Так как , то выражение для дифференциала второго порядка функции двух переменных принимает вид . Пример. Найти дифференциал второго порядка в точке функции Запишем формулу (27) подробно в точке для функции n-переменных . Все производные вычисляются в точке , и все смешанные производные с соответственными индексами равны между собой, т.е. . Следовательно, есть симметричная квадратичная форма относительно n переменных . Матрица этой квадратичной формы, называется матрицей Гессе: . (28) Следовательно, можно записать в матричной форме , где . Определение 22. Дифференциалом m-го порядка m раз дифференцируемой функции называется однородный многочлен m-й степени относительно переменных вида . Это выражение символически можно записать так , где для получения развернутого выражения надо формально возвести выражение в скобках в m-ю степень, как многочлен, считая символы независимыми переменными, а затем к числителю приписать справа . В частности, для функции двух переменных имеем . Так как , то получаем: , где – биномиальные коэффициенты. Дифференциалы порядка не обладают свойством инвариантности. Теорема 11(Тейлор Брук 1685-1731 англ.). Пусть функция определена в некоторой - окрестности точки и (m+1) раз дифференцируема в этой окрестности. Тогда справедлива формула Тейлора .(29) Здесь некоторая точка из окрестности , зависящая от , а дифференциалы независимых переменных в каждом слагаемом определяются как . Формулу Тейлора (29) также можно записать в виде . (30) ( Доказательство проведем для функции двух переменных или . , Сначала рассмотрим функцию одной переменной . Пусть раз дифференцируема в окрестности точки . Формула Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в формуле Лагранжа имеет (31) Так как – независимая переменная, то . По определению дифференциала функции одной переменной , . Если обозначить , то (31) можно записать в виде (32) Рассмотрим некоторую - окрестность точки и в ней произвольную точку и соединим точки и отрезком прямой линии . Ясно, что координаты и точек этой прямой есть линейные функции параметра . . На отрезке прямой функция является сложной функцией параметра , т. к. . При этом она раз дифференцируема по на и для справедлива формула Тейлора (32), где , т.е. . Дифференциалы в формуле (32) представляют собой дифференциалы сложной функции , где , , , т.е. (33) Подставляя (33) в (32) и учитывая, что , получаем (34) ( Последнее слагаемое в (34) называют остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа . Без доказательства отметим, что если в условиях теоремы функция дифференцируема в точке m раз, то остаточный член можно записать в форме Пеано: , где . 7. Локальный экстремум функции нескольких переменных Пусть определена на , и . Определение 23. Внутренняя точка называется точкой строгого локального максимума функции , если существует такая окрестность точки , что и , выполняется неравенство . Если , то точка нестрогого локального максимума. Если , то точка строгого локального минимума. Если , то точка нестрогого локального минимума. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума функции . Теорема 12 (необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный (нестрогий) экстремум, то выполняются и . (35) ( Так как по определению имеем , , то нужно доказать, что для выполняются равенства . Рассмотрим функцию , у которой все переменные зафиксированы, кроме , а – направляющий вектор оси . Тогда, так как в точке имеет экстремум, то в точке тоже имеет экстремум, как функции одной переменной. Отсюда согласно теореме Ферма . Таким образом, из определения частной производной получаем: , ( Замечание. Условия (35) является необходимыми, но не достаточными. Например, функция дифференцируемая в точке и , , , , но экстремума в точке нет (рис. 4), так как в любой окрестности точки (0, 0) принимает как положительное, так и отрицательное значения. Определение 24. Точка называется стационарной точкой функции , если выполняется условие (35). Стационарная точка называется регулярной, если в этой точке существует второй дифференциал , (т.е. существуют все частные производные второго порядка) и он является невырожденной квадратичной формой переменных . Так как матрица квадратичной формы есть матрица Гессе , то невырожденность квадратичной формы означает, что определитель матрицы Гессе , который называется гессиан, не равен нулю. Теорема 13 (достаточное условие экстремума). Пусть функция дважды дифференцируемой в окрестности точки , где – стационарная точка, а второй дифференциал в точке есть невырожденная квадратичная форма переменных . Тогда: если – положительная определенная квадратичная форма, то точка локального минимума; если – отрицательная квадратичная форма, то – точка максимума; если – знакопеременная квадратичная форма, то не является точкой экстремума. ( Так как – стационарная точка, то из теоремы 12 следует и . Запишем формулу Тейлора для случая m=2 с остаточным членом в форме Пеано , где , , . Тогда формулу Тейлора можно переписать в виде . (36) Короткое (упрощенное) доказательство. Пусть второй дифференциал является отрицательно определенной квадратичной формой (функцией) в точке . Тогда, при любых значениях в окрестности точки , эта функция принимает отрицательное значение, т.е. и из (36) следует, что . Отсюда следует, что - точка максимума. Аналогично, остальное доказательство. Подробное доказательство. Рассмотрим единичный вектор сонаправленный с вектором, соединяющим и : , . Обозначим , где при . Тогда или . (37) Пусть второй дифференциал есть положительно определенная квадратичная форма. Квадратичная форма задана на единичной сфере , которая есть ограниченное замкнутое множество. По теореме Вейерштрасса функция n переменных достигает своего наименьшего значения на этом множестве, т.е. достигает нижней грани: и . Ясно, что для произвольного значения . Тогда из положительно определенности квадратичной формы и условия , следует, что . Тогда , . Так как , то существует , что в можно сделать не более любого наперед заданного числа, например , т.е. , . Из полученного соотношения и формулы (37) следует, что , т.к. а откуда , тогда – точка минимума. Если второй дифференциал функции есть отрицательно определенная квадратичная форма, то второй дифференциал функции в стационарной точке будет положительно определенной квадратичной формой. Тогда – точка локального максимума функции . Пусть – знакопеременная квадратичная форма. Тогда существуют такие единичные векторы и , что , . По формуле (37) имеем , , где при . Так как , то можно выбрать их сколь угодно малыми, так что слагаемые в скобках будут иметь фиксированные знаки. Тогда существует -окрестность точки такая, что для выполняются неравенства т.е. в любой сколько угодно малой окрестности точки не выполняется определение экстремума. ■ Следствие. Пусть дважды дифференцируемая функция в окрестности стационарной точки , тогда: если , то – точка минимума функции ; если , то – точка максимума функции ; если , то в точке экстремума нет. Справедливость следствия следует из критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм и теоремы 13. Здесь матрица Гессе имеет вид: , а гессиан есть определитель второго порядка . Пример. Для функции найти точки экстремума или показать, что их нет. Решение. Определим стационарные точки: , . Решая систему, получаем две точки и . Найдем матрицу Гессе: . Используя следствие, для точки получаем , . Следовательно, в точке экстремума нет. Для точки получаем , . Следовательно, точка локального минимума. 33 HYPER13PAGE HYPER15 33 Рис.1 Рис.2 Рис.3 Рис.4