Сетевая библиотекаСетевая библиотека

ТПР (Лабораторная работа №1)

Дата публикации: 04.02.2019
Тип: Текстовые документы DOC
Размер: 530 Кбайт
Идентификатор документа: -165866517_491708619
Файлы этого типа можно открыть с помощью программы:
Microsoft Word из пакета Microsoft Office
Для скачивания файла Вам необходимо подтвердить, что Вы не робот


Не то что нужно?


Вернуться к поиску
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №1 по дисциплине Теория принятия решений Принятие решений в условиях риска Цель работы: приобретение практических навыков в решении задач в условия риска; определение оптимальных вариантов из множества решений; Порядок выполнения работы: Решить задачу по варианту путем проведения ручных расчетов по формулам, приведенным в теоретической части пособия. Теоретическая часть Для задач принятия решений в условиях риска характерно наличие множества ситуаций, в которых будет реализовываться каждое решение, а также известны вероятности наступления этих ситуаций. В данной теме изучаются основы теории полезности, аксиомы рационального выбора, функция полезности и дерево решений, как инструмент для нахождения последовательности правильных решений, ведущих к максимальной ожидаемой полезности. Кроме этого рассматриваются следующие критерии принятия решений: минимаксный критерий; критерий Байеса-Лапласа; критерий Сэвиджа; Ходжа-Лемана; Гурвица; Гермейера. 1. Минимаксный критерий Минимаксный критерий (ММ) использует оценочную функцию , соответствующую позицию крайней осторожности. и , где – оценочная функция ММ-критерия. Поскольку в области технических задач построение множества вариантов уже само по себе требует весьма значительных усилий, причем иногда возникает необходимость в их рассмотрении с различных точек зрения. Оно должно напоминать о том, что совокупность вариантов необходимо исследовать возможно более полным образом, чтобы была обеспечена оптимальность выбираемого варианта. Правило выбора решения в соответствии с этим критерием можно интерпретировать следующим образом: Матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов каждой строки. Выбрать надлежит те варианты , в строках которых стоят наибольшие значения этого столбца. Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже . Это свойство заставляет считать минимаксный критерий одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь. Пример 1. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием минимаксного ZMM критерия. Из каждой строки матрицы выбираем минимальный (min) элемент и заносим его в дополнительный столбец, дальше из этого столбца выбираем максимальный элемент (max) – это и есть ответ. Ответ: 2. Критерий Байеса-Лапласа Обозначим через–вероятность появления внешнего состоянияFj. Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решений дополняется ещё одним столбцомсодержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшее значениеeirэтого столбца. При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами: 1) Вероятности появления состоянияFjизвестны и не зависят от времени. 2) Решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз. 3) Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск. При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключён. Т.о. критерий Байеса-Лапласа(B-L-критерий)более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию. Пример 2. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Байеса-Лапласа ZBL при равновесных состояниях. Так как состояния равновесные то, q1=q2=q3=q4=q5 q/5 =0.2 Каждый элемент матрицы умножаем на вероятность события q, которая в этой задаче равна 0.2 , после этого полученные значения складываются построчно и записываются в дополнительный столбец. Вычисление: ei1=1*0.2+3*0.2+2*0.2+5*0.2+0*0.2=2.2 ei2=2*0.2+0*0.2+(-2)*0.2+3*0.2+4*0.2=1.4 ei3=6*0.2+(-5)*0.2+3*0.2+0*0.2+1*0.2=1.0 ei4=2*0.2+4*0.2+1*0.2+(-1)*0.2+5*0.2=2.2 Из дополнительного столбца выбирается максимальное (max) значение – это и есть ответ. Ответ: Пример 3. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Байеса-Лапласа ZBL при следующем распределении вероятностей состояния системы принятия решений: q1=0.3, q2=0.3, q3=0.2, q4=0.1, q5=0.1 Считается точно так же как и в предыдущей задаче: уже заданную вероятность q1 умножаем на первый элемент первой строки, уже заданную вероятность q2 умножаем на второй элемент первой строки, уже заданную вероятность q3 умножаем на третий элемент первой строки, уже заданную вероятность q4 умножаем на четвёртый элемент первой строки, уже заданную вероятность q5 умножаем на пятый элемент первой строки, полученные ответы складываются и записываются в дополнительный столбец. Далее то же самое проделывается с каждой строкой. Вычисление: ei1=1*0.3+3*0.3+2*0.2+5*0.1+0*0.1=2.1 ei2=2*0.3+0*0.3+(-2)*0.2+3*0.1+4*0.1=0.9 ei3=6*0.3+(-5)*0.3+3*0.2+0*0.1+1*0.1=1.0 ei4=2*0.3+4*0.3+1*0.2+(-1)*0.1+5*0.1=2.4 Из дополнительного (посчитанного) столбца выбирается максимальное значение (max) – это и есть ответ. Ответ: 3. Критерий Сэвиджа Введем вспомогательную матрицу с элементами aij : aij = max i eij − eij . Величину aij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Πj вместо варианта Pi выбирать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину aij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие в состоянии Πj при замене оптимального для него варианта на вариант Pi . Тогда величина представляет собой максимально возможные (по всем внешним состояниям Πj , j = 1, n) потери в случае выбора варианта Pi . Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так: каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата max i eij соответствующего столбца. разности aij образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей eir. Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение. Требования, предъявляемые к ситуации, в которой принимается решение, совпадают с требованием к ММ-критерию. Пример и выводы. Из требований, предъявляемых к рассмотренным критериям, становится ясно, что вследствие их жёстких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случае, когда возможна слишком сильная идеализация, можно применять одновременно поочерёдно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов ЛПР (лицо принимающее решение) волевым методом выбирает окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора. В соответствии с минимаксным критерием, если требуется в любых условиях избежать большого риска, то оптимальным будет то решение, для которого риск, максимальный при различных вариантах условий, окажется минимальным. При использовании критерия Сэвиджа обеспечивается наименьшее значение максимальной величины риска: Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, - это критерий крайнего пессимизма, но только пессимизм здесь проявляется в том, что минимизируется максимальная потеря в выигрыше по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях. Пример 4. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Сэвиджа а.) Из столбца выбирается элемент с максимальным значением (max), далее из него вычитается первый элемент столбца, потом второй, потом третий, потом четвёртый. б.) То же самое проделывается с каждым столбцом исходной матрицы. в.) Полученные числа в том же порядке записываются в новую матрицу. 8-2=6 11-5=6 7-7=0 4+3=7 8-6=2 11-(-1)=12 7-0=7 4-2=2 8-8=0 11-1=10 7-(-3)=10 4-4=0 8-5=3 11-7=4 7-2=5 4-1=3 г.) Из каждой строки новой матрицы выбираем максимальный элемент (max) и заносим его в дополнительный столбец, дальше из этого столбца выбираем минимальный элемент (min) – это и есть ответ Ответ: 4. Критерий Ходжа-Лемана Критерий основан на минимаксном критерии и критерии Байеса — Лапласа, характеризуется тем, что с помощью параметра выражает степень доверия к используемому распределению вероятностей. ПриV =1 критерий переходит в критерий Байеса — Лапласа, а приV= 0 — в минимаксный критерий. Ситуация, в которой рекомендовано применение этого критерия, характеризуется следующими условиями: вероятности появления состояний неизвестны, но некоторые предположения о распределениях вероятностей возможны; принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций: при малых числах реализации допускается некоторый риск. Пример 5. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Ходжа-Лемана, если вероятности состояния системы принятия решений неизвестны. При решении задачи учесть, что степень доверия к позиции крайней осторожности на процесс принятия решения должна быть не более 0,4. По условию - это степень доверия к позиции крайней осторожности ZMM, или вероятность (коэффициент) возникновения минимаксного критерия, описанного в первой задаче ZMM. Возьмем , тогда - это степень доверия к позиции критерия Байеса-Лапласа ZBL, описанного во второй третьей задаче. Критерий Ходжа-Лемана ZHL можно представить в виде: ZHL= ZBL+ ZMM, а в этой задаче с коэффициентами, ZHL= vZBL+ (1-v)ZMM Далее, по условию, вероятности состояния системы принятия решений неизвестны, т.е. по заданной матрице видно: вероятностей четыре (четыре строки), тогда предположим, что вероятности равноценны. Известно, что сумма всех возможных вероятностей равна 1. → Решение (считается построчно): а.) Каждый элемент строки умножается на вероятность б.) Всё складывается и умножается на 0.6 г.) К полученным значениям прибавляется произведение минимального элемента строки на коэффициент 0,4 Вычисление: д.) Выбирается максимальное значение дополнительного столбца (max) – это и есть ответ. Ответ: 5. Критерий Гурвица Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предположил оценочную функцию, которая находится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма: где С — весовой множитель. Правило выбора согласно критерию Гурвица, формируется следующим образом: Матрица решений дополняется столбцом, содержащим среднее взвешенное наи- меньшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбираются только те варианты, в строках которых стоят наибольшие элементы eir этого столбца. При C = 1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий. При C = 0 он превращается в критерий “азартного игрока”, то есть делает ставку на то, что выпадет наивыгоднейший случай. В технических приложениях сложно выбрать весовой множи- тель C, т.к. трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего пола- гают C = 1 2 . Критерий Гурвица применяется в случае, когда : 1) О вероятностях появления состояния Πj ничего не известно. 2) С появлением состояния Πj необходимо считаться. 3) Реализуется только малое количество решений. 4) Допускается некоторый риск. Пример 6. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Гурвица ZHW. При решении задачи учесть, что степень доверия к позиции крайней осторожности ZMM должна быть не более 0.3. По условию - это степень доверия к позиции крайней осторожности ZMM, или вероятность (коэффициент) возникновения минимаксного критерия, описанного в первой задаче ZMM. Возьмем , тогда - это степень доверия к позиции критерия азартного игрока ZAG Критерий Гурвица ZHW можно представить в виде: ZHW= ZMM+ ZAG, а в этой задаче с коэффициентами ZHW= cZMM+ (1-c)ZAG Решение (считается построчно): а.) Минимальный (min) элемент строки умножается на 0.3 а максимальный элемент строки умножается на 0.7 б.) Результаты умножений складываются и записываются в дополнительный столбец Вычисление: e1r=(-3)*0.3+7*0.7=4 e2r=(-1)*0.3+6*0.7=3.9 e3r=(-3)*0.3+11*0.7=6.8 e4r=1*0.3+7*0.7=5.2 г.) Выбирается максимальное значение дополнительного столбца (max) – это и есть ответ. Ответ: 7. Критерий Гермейера Отправляясь от подхода Гермейера к отысканию эффективных и пригодных к компромиссу решений в области полиоптимизации – т.е. всех решений, которые не считаются заведомо худшими, чем другие, – можно предположить еще один критерий, обладающий в некотором отношении определенной эластичностью. Он с самого начала ориентирован на величины потерь, т.е. на отрицательные значения . В качестве оценочной функции выступает Поскольку в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие <0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования - а при подходящим образом подобранном >0. Правило выбора согласно критерию Гермейера формулируется следующим образом: Матрица решений дополняется еще одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния . Выбираются те решения , в строках которых находится наибольшее значение этого столбца. Пример 7. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Гермейера при вероятности состояния системы принятия решений: При использовании критерия Гермейера для расчёта должна получиться матрица, в которой все элементы имеют отрицательное значение. В исходной матрице максимум это 94, поэтому из каждого элемента вычитается любое большее число, например, 95. Получается матрица остатков: Уже заданную вероятность умножаем элементы матрицы. Вычисление: Полученные ответы сравниваются, из них выбираются минимальные значения, которые записываются в дополнительный столбец матрицы остатков. Из дополнительного столбца выбирается максимальное (max) значение– это и есть ответ. Ответ: . Пример 8. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием критерия Гермейера ZG при следующем распределении вероятностей состояния системы принятия решений: q1=0.3, q2=0.25, q3=0.25, q4=0.2 При использовании критерия Гермейера ZG для расчёта должна получится матрица, в которой все элементы имеют отрицательное значение. В исходной матрице максимум это 11, поэтому из каждого элемента вычитается любое большее число, например, 12. Получается матрица остатков Далее вероятности q1=0.3 умножаем на числа 1 столбца, q2=0.25 умножаем на числа 2 столбца, q3=0.25 на 3 столбец и q4=0.2 на 4 столбец. Вычисление: -10*03= -3 -7*0,25= -1,75 -5*0,25= -1,25 -15*0,2= -3 -6*0,3= -1,8 -13*0,25= - 3,25 -12*0,25= -3 -10*0,2= -5 -4*0,3= -1,2 -1*0,25= -0,25 -15*0,25= -3,75 -8*0,2= -4 -7*0,3= -2,1 -5*0,25= -1,25 -10*0,25= -2,5 -11*0,2= -2,2 Полученные ответы сравниваются, из них выбираются минимальные значения, которые записываются в дополнительный столбец матрицы остатков. Из дополнительного столбца выбирается максимальное (max) значение – это и есть ответ. Ответ: Задание В условии заданий m — номер варианта, а n = 11 − m. 1. Найти оптимальное решение, используя критерии описанные ранее, для матрицы: . Вероятности qj осуществления ситуации Πj равны q1 = 0.2 , q2 = 0.3 , q3 = 0.4, q4 = 0.1 . 2. Найти оптимальное решение, используя критерии описанные ранее, для матрицы: Вероятности qj осуществления ситуации Πj равны q1 = 0.2 , q2 = 0.2 , q3 = 0.25 , q4 = 0.25 , q5 = 0.1 .