Сетевая библиотекаСетевая библиотека

3 Дроздова Законы сохранения в механике (задачи..

Дата публикации: 29.09.2012
Тип: Текстовые документы DOC
Размер: 544 Кбайт
Идентификатор документа: -42837788_131945496
Файлы этого типа можно открыть с помощью программы:
Microsoft Word из пакета Microsoft Office
Для скачивания файла Вам необходимо подтвердить, что Вы не робот

Предпросмотр документа

Не то что нужно?


Вернуться к поиску
Содержание документа
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Омский государственный университет путей сообщения
_________________________________



И. А. Дроздова, Г. Б. Тодер







ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ

(зАДАЧИ)


Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний к решению задач по физике














Омск 2009
УДК 530.1(075.8)
ББК 22.3
Д75

Законы сохранения в механике (задачи): Методические указания к решению задач по физике / И. А. Дроздова, Г. Б. Тодер; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2009. 34 с.


Составлены в соответствии с действующей программой по курсу общей физики для втузов. Приведены основные законы и формулы, необходимые для решения задач по разделу Законы сохранения в механике, задачи разного уровня сложности на движение и взаимодействие материальных точек и абсолютно твердых тел, в том числе на различные типы столкновений, требующие применения законов сохранения, а также задачи на вычисление механической работы и мощность.
Предназначены для студентов первого курса технических вузов дневной и заочной формы обучения.

Библиогр.: 6 назв. Табл. 1. Рис. 1.

Рецензенты: доктор техн. наук, профессор В. А. Нехаев;
канд. техн. наук, доцент В. П. Шабалин.
канnmnmn.








________________________
Омский гос. университет
путей сообщения, 2009



ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение1 1 5
1. Основные законы и формулы11 6
2. Задачи для самостоятельного решения1 12
2.1. Работа. Энергия. Закон сохранения энергии1 12
2.2. Закон сохранения импульса1 17
2.3. Закон сохранения момента импульса 24
3. Пример оформления решения задачи1 30
Библиографический список1 33
ВВЕДЕНИЕ
Настоящие методические указания предназначены в помощь студентам при самостоятельном решении задач по разделу Законы сохранения в механике.
Самостоятельная работа студентов будет эффективной, если дополнительно использовать материал методических указаний [1], в которых подробно рассмотрены примеры решения задач на применение законов сохранения импульса, момента импульса и энергии в механике материальной точки и абсолютно твердого тела. Прежде чем приступить к решению задачи, следует тщательно изучить соответствующие теоретические сведения, приведенные в работах [2 – 6].
Данные методические указания состоят из трех разделов. В первом разделе содержатся основные теоретические сведения, необходимые для решения задач по разделу Законы сохранения в механике. Во втором разделе приведены задачи для самостоятельного решения, они разбиты по темам и расположены по возрастанию сложности. Задачи повышенной сложности помечены звездочкой (*). Пример правильного оформления решения задачи представлен в третьем разделе.
Для решения содержащихся в методических указаниях задач применяются модели материальной точки и абсолютно твердого тела и некоторые ограничения. Если в условиях задачи нет специальных указаний, то все твердые тела считаются однородными; значения всех величин даны в инерциальной системе отсчета, связанной с землей; силой сопротивления воздуха и силой трения на оси следует пренебречь.
При решении задач следует сначала понять условия, в которых происходят рассматриваемые явления, и затем записывать необходимые формулы. Задачи рекомендуется решать сначала в общем виде. Такой подход позволяет лучше понять физические закономерности, в частности, выяснить, как изменяется искомая физическая величина при изменении исходных данных, и выработать общие приемы решения задач.
Следует отметить, что терминам импульс и момент импульса, принятым в физике, в технических дисциплинах соответствуют термины количество движения и кинетический момент соответственно, кинетическую энергию обычно обозначают буквой T, потенциальную – П, мощность силы (момента) – N.
1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

В общем случае работа A, совершаемая силой по перемещению материальной точки из точки М0(x0, y0, z0) в точку M1(x1, y1, z1), определяется с помощью криволинейного интеграла:
, (1.1)
где – скалярное произведение векторов силы и элементарного перемещения .
Расчет мгновенной P и средней

мощности выполняется по формуле:
(1.2)
где dA – элементарная работа, производимая силой за время dt;
A – полная работа силы за время t.
Средняя мощность
Если при прямолинейном перемещении материальной точки работа совершается силой не зависящей от координат, то формула (1.1) упрощается и принимает вид:
(1.3)
где ( – угол между векторами силы и перемещения
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси Z внешняя сила, создающая момент совершает работу:
, (1.4)
где Mφ – проекция вектора на направление вектора угловой скорости, Mφ= MZ. Знак работы зависит от знака M( .
Если момент сил относительно оси Mz постоянен, а начало отсчета угла поворота совпадает с началом действия силы ( = 0), то
A = Mφ φ. (1.5)
Мгновенную мощность P при вращательном действии силы можно вычислить по формуле:
Р = (1.6)
Если материальная точка движется под действием консервативной силы (в потенциальном силовом поле) по некоторой траектории от точки1 с радиусом-вектором до точки 2 с радиусом-вектором , то эта сила совершает работу
, (1.7)
не зависящую от пути, по которому движется тело.
В формуле (1.7) Wp () – потенциальная энергия материальной точки.
Потенциальная энергия тела массой m, центр масс которого находится на высоте h вблизи поверхности Земли, рассчитывается по уравнению
Wр = mgh(1.8)
при условии, что у поверхности Земли потенциальная энергия тела принимается равной нулю, и зависимость ускорения свободного падения g вблизи поверхности Земли от высоты не учитывается.
При условии, что потенциальная энергия недеформированного (x = 0) тела принимается равной нулю, потенциальная энергия стержня или пружины при их малом растяжении или сжатии вычисляется по выражению:
Wр = kx2/2,(1.9)
где x – смещение точек деформированных тел от положения равновесия;
k – коэффициент упругости (жесткость) пружины или стержня.
Приращение кинетической энергии системы материальных точек (твердого тела) равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы:
(1.10)
Это утверждение называется теоремой о приращении кинетической энергии, с ее помощью решаются многие задачи динамики.
Работа самой механической системы против сил, приложенных к ней, противоположна по знаку и равна по значению работе, совершаемой этими силами над системой.
Коэффициент полезного действия (КПД) механизма определяется отношением полезной (Aпол) и совершенной механизмом (Aсов) работ:
. (1.11)
Кинетическая энергия материальной точки массой m, движущейся со скоростью а также кинетическая энергия абсолютно твердого тела массой m, движущегося поступательно со скоростью определяются по формуле:
. (1.12)
Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z с угловой скоростью , рассчитывается по уравнению:
, (1.13)
где I – момент инерции тела относительно оси Z.
Моменты инерции IC однородных тел правильной геометрической формы массой m относительно оси, проходящей через центр масс C, определяются по формулам, указанным в таблице. Если ось Z не проходит через центр масс, то момент инерции тела относительно этой оси определяется по теореме Гюйгенса-Штейнера:
I = IC + mb2, (1.14)
где IC – момент инерции тела относительно оси, параллельной оси Z и проходящей через его центр масс;
b – расстояние между осями.
Моменты инерции IC однородных тел правильной геометрической формы
массой m относительно оси Z

Тело
Расположение оси Z
Формула

Материальная точка массой m
Находится на расстоянии R от точки
I = mR2

Тонкий стержень длиной l
Перпендикулярна стержню и проходит через его центр


Тонкий стержень
Совпадает со стержнем


Шар радиусом R
Проходит через центр шара


Диск (цилиндр) радиусом R
Перпендикулярна диску (основаниям цилиндра) и проходит через его центр


Кольцо (обруч) радиусом R
Перпендикулярна кольцу (обручу) и проходит через его центр
IC = mR2


Связь линейной и угловой скоростей точки абсолютно твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и модулей этих скоростей описывается соотношением:
(1.15)
где – радиус-вектор данной точки, проведенный из начала координат, лежащего на оси вращения;
R – радиус окружности, по которой движется точка.
Модуль скорости ( = (R.
Кинетическая энергия абсолютно твердого тела при его плоском движении может быть вычислена следующими способами:
1) как сумма кинетической энергии поступательного и вращательного движений тела – по формуле:
(1.16)
где vС – скорость поступательного движения центра масс тела;
IС – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс;
2) как энергия вращательного движения тела вокруг мгновенной оси вращения – по уравнению (1.13). Формула (1.16) представляет собой математи-ческую формулировку теоремы Кенига.
Полная механическая энергия тела, движущегося во внешнем потенциальном поле сил, равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:
Wм = Wк + Wр. (1.17)
Механическая энергия системы тел равна сумме механических энергий тел, входящих в систему.
В отсутствие диссипативных сил к механической системе применим закон сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой консервативной системы тел остается постоянной, при взаимодействии тел она может переходить из кинетической энергии в потенциальную и обратно.
В общем случае, в том числе при наличии диссипативных сил (например, сил трения), когда механическая энергия может переходить в другие виды энергии, в частности во внутреннюю, выполняется общефизический закон сохранения энергии: во всех процессах, происходящих в природе, энергия ниоткуда не возникает, никуда не исчезает, а лишь переходит из одной формы в другую.
Импульс (количество движения) – это векторная характеристика движения. Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью , определяется по формуле:
(1.18)
импульс системы – по выражению:
, (1.19)
где – импульс i-го тела (материальной точки).
Если на систему материальных точек не действуют внешние силы (система является изолированной) или векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения (полный импульс) системы не изменяется (ни по величине, ни по направлению):
. (1.20)
Это утверждение носит название закон сохранения импульса.
В случае, когда результирующая внешняя сила не равна нулю, но ее проекция на некоторую ось, например на ось X, равна нулю, проекция импульса системы на эту ось остается постоянной:
.(1.21)
Заметим, что импульсы всех рассматриваемых тел в формулах (1.19) и (1.21) должны вычисляться в одной и той же инерциальной системе отсчета.
Момент импульса (кинетический момент, момент количества движения) относительно некоторого неподвижного центра (точки) O – характеристика вращательного движения абсолютно твердого тела. Момент импульса системы абсолютно твердых тел равен векторной сумме моментов импульса тел:
= (1.22)
где – момент импульса i-го тела.
Если на систему абсолютно твердых тел не действуют моменты внешних сил или результирующий момент сил равен нулю, то момент импульса системы тел относительно точки O остается постоянным:
(1.23)
т. е. выполняется закон сохранения момента импульса.
Пусть абсолютно твердое тело вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси Z, его момент инерции относительно этой оси – I (осевой момент инерции). Тогда момент импульса тела относительно оси Z (проекция вектора момента импульса на ось Z)
Lz = I (1.24)
где – проекция угловой скорости тела на ось Z.
Если результирующий момент внешних сил, действующих на систему тел, не равен нулю, но его проекция на некоторую ось (момент сил относительно оси) равна нулю, то момент импульса системы относительно этой оси остается постоянным. Например, если система тел вращается вокруг неподвижной оси Z и результирующий момент внешних сил относительно этой оси равен нулю, то момент импульса системы относительно оси вращения не меняется:
Lz = (1.25)
где Liz и Ii – моменты импульса и инерции тел, входящих в систему, относительно оси Z соответственно;
(iZ – проекция угловой скорости тел на ось Z.
К числу задач, решаемых в курсе механики и иллюстрирующих удобство применения законов сохранения, относятся задачи на столкновение (соударение) двух тел.
Для любого столкновения выполняются общефизический закон сохранения энергии, законы сохранения импульса и момента импульса. Для абсолютно упругого удара применяется закон сохранения механической энергии. В случае неупругого удара закон сохранения механической энергии не выполняется, так как при неупругом ударе часть механической (кинетической) энергии системы расходуется на деформацию соударяющихся тел и, в конечном счете, переходит в тепловую (внутреннюю) энергию.
По определению при абсолютно неупругом ударе сразу после взаимо-действия тела движутся как одно целое с общей скоростью.


2. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

2.1. Работа. Энергия. Закон сохранения энергии

1) Автомобиль массой 1 т движется вверх по наклонному участку дороги с постоянной скоростью 36 км/ч. Длина участка дороги равна 150 м, угол ее наклона к горизонтали составляет 15(. Коэффициент трения равен 0,05. Найти работу всех сил, действующих на автомобиль, и работу каждой силы в отдельности, считая эти силы постоянными.
2) Определить работу, совершенную подъемным устройством при подъеме груза по наклонной плоскости, и среднюю мощность подъемного устройства, если масса груза равна 120 кг, длина наклонной плоскости ( 2,3 м, угол ее наклона к горизонту составляет 30(, коэффициент трения груза о плоскость равен 0,1, ускорение при подъеме постоянно и равно 0,94 м/с2. У основания наклонной плоскости груз находился в покое.
3) Определить работу силы упругости невесомой пружины, если под действием груза массой 1,3 кг вертикально висевшая пружина растянулась из недеформированного состояния на 1 см.
4) Тележку массой 250 кг тянут с постоянной скоростью 2 м/с по горизонтальным рельсам. Сила тяги направлена под углом 10( к горизонту. Считая силы, действующие на тележку, постоянными, найти работу всех сил и работу каждой силы в отдельности за 2,5 мин движения. Коэффициент трения скольжения тележки о рельсы равен 0,1.
5) Угол наклона участка шоссе к горизонту равен 2(. Автомобиль движется под уклон равномерно со скоростью 60 км/ч. Определить мощность двигателя этого автомобиля, поднимающегося по этому уклону с той же ско-ростью. Масса автомобиля равна 1,5 т.
6) Пружина жесткостью 530 Н/м была первоначально сжата силой 140 Н. Затем к пружине приложили дополнительную сжимающую силу. Определить работу дополнительной силы, если пружина под ее действием оказалась сжатой еще на 2,5 см.
7) Две пружины жесткостью 0,5 и 1,0 кН(м(1 соединены параллельно. Какова работа внешней силы, растянувшей первоначально недеформированные пружины на 4,0 см?
8) Определить работу внешней силы при растяжении двух последовательно соединенных первоначально недеформированных пружин, если первая пружина растянулась на 1,9 см. Значения коэффициента упругости пружин: первой – 420, второй – 250 Н/м.
9) Сила тяги локомотива линейно увеличивается от 30 до 60 МН на пути длиной 1,2 км. Какова работа силы тяги за это время?
10) Две материальные точки массой 2,7 кг каждая, находящиеся первоначально на расстоянии 14 см друг от друга, начинают движение навстречу друг другу вследствие гравитационного взаимодействия. Какова работа гравитационной силы за время, прошедшее от начала движения до момента, когда расстояние между материальными точками стало равным 2 см?
11) Определить работу силы тяжести при падении тела массой 3,7кг с высоты, равной половине радиуса Земли, на ее поверхность.
12) Определить работу, производимую против силы тяжести при подъеме тела массой 2,0 кг на поверхность Земли из шахты глубиной 300 м.
13*) Вверх по наклонной плоскости равномерно со скоростью поднимают тело массой m, прикладывая силу, направленную вдоль плоскости. При каком угле наклона плоскости к горизонту затрачиваемая мощность будет максимальной и каково ее значение? Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен 0,5.
14*) Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы тело массой 10 кг равномерно поднять на гору высотой 30 м и уклоном 30(. Коэффициент трения скольжения равномерно уменьшается от 0,4 у подножия горы до 0,1 на ее вершине.
15*) Локомотив массой m начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону: , где ( – постоянная; s – пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые t с после начала движения.
16) Сплошной однородный диск массой 800 г, радиусом 15 см катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Скорость оси диска равна 1,5 м/с. Вычислить кинетическую энергию диска.
17) Игрушечный автомобиль массой 300 г, из которых 80 г приходятся на четыре колеса, движется без скольжения со скоростью 20 см/с. Вычислить кинетическую энергию автомобиля, считая колеса однородными дисками. Радиус колеса равен 2 см.
18) Найти кинетическую энергию велосипеда (с велосипедистом), движущегося со скоростью 9,3 км/ч. Масса велосипеда вместе с велосипедистом равна 80кг, причем на массу колес приходится 3,0 кг. Колеса считать обручами. Скольжения нет.
19) Кольцо вращается вокруг оси симметрии под действием постоянного момента силы 20 Нм. Найти работу этой силы, совершенную в течение двух оборотов кольца.
20) Диск массой 2 кг и радиусом 16 см, начав вращаться под действием внешних сил вокруг оси симметрии, перпендикулярной плоскости диска, приобрел угловую скорость 10 рад/с. Найти работу, совершенную за это время внешними силами.
21) Колесо вращается с частотой 3 об/с. Какую работу надо совершить для того, чтобы остановить колесо? Момент инерции колеса равен 0,54 кгм2. Трением на оси пренебречь.
22) К однородному покоящемуся шару массой 2 кг и радиусом 4 см в точке, наиболее удаленной от оси вращения, совпадающей с осью симметрии, приложили касательную силу 20 Н, перпендикулярную оси вращения. Найти работу этой силы за 10 с от начала вращения шара. Трением на оси пренебречь.
23) Стержень массой 2 кг и длиной 50 см начал вращаться с угловым ускорением 0,2 рад/с2 вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его край. Найти работу силы, действующей на стержень за первые 30 с от начала вращения. Трением на оси пренебречь.
24) До начала действия внешней силы горизонтальный стержень длиной 1,8 м и массой 2,1 кг вращался в горизонтальной плоскости с частотой 6,0 об/с относительно вертикальной оси, проходящей через его край. Под действием внешней силы стержень стал вращаться ускоренно с угловым ускорением, величина которого меняется по закону: (=(t + (t2, где (=2рад/с3; (=3 рад/с4. Найти: 1) кинетическую энергию стержня спустя 2 с от начала ускоренного вращения; 2) работу, совершенную вращающей силой над стержнем за 2 с от начала ускоренного вращения.
25) Система состоит из двух тонких взаимно перпендикулярных стержней, образующих крестовину. Центры масс стержней лежат на оси крестовины. Масса каждого стержня равна 2,0 кг, длина ( 1,8 м. На концах одного из стержней укреплены одинаковые шары массой 0,97 кг и радиусом 6 см каждый так, что центры шаров совпадают с концами стержня. Система вращалась с угловой скоростью 6,2 рад/с вокруг оси, проходящей через центр крестовины. Систему стали ускорять, действуя на нее силой, приводящей к угловому ускорению, значение которого меняется по закону: (=(t + (, где ( =1рад/с3; ( =2 рад/с2. Найти работу, совершаемую над системой в течение 4с от начала действия силы. Трением на оси пренебречь.
26) На концах горизонтально расположенного стержня длиной 1,2 м и массой 0,87 кг укреплены одинаковые диски массой 310 г и радиусом 30 см так, что плоскости дисков горизонтальны, а центры дисков расположены над концами стержня. Когда система вращалась относительно вертикальной оси, проходящей через центр одного из дисков, делая 1,9 об/с, на нее начала действовать постоянная внешняя тормозящая сила. Система остановилась, сделав 17,1об. Найти: 1)работу, совершенную силой; 2) модуль тормозящего момента силы. Трением на оси пренебречь.
27) Через блок массой 430 г, имеющий форму обруча, перекинута нить. Блок расположен в вертикальной плоскости и может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси, проходящей через его центр. Трение на оси пренебрежимо мало. К одному концу нити привязан груз массой 0,78 кг, к другому – 1,56кг. Первоначально грузы находились на одной высоте. Найти изменение потенциальной энергии каждого груза за 2,8 с от начала движения и работу силы тяжести, действующей на каждый груз, за это время.
28) На плоскости, угол наклона которой к горизонту составляет 30(, лежит брусок массой 0,7кг. К бруску привязана нить, перекинутая через блок, ось которого укреплена на вершине наклонной плоскости. Блок имеет форму диска массой 320 г и радиусом 18 см. На оси блока действует тормозящий момент, равный 0,58 Н(м. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен 0,16. К свободному концу нити привязана гиря массой 1,2 кг. Найти изменение кинетической энергии бруска за 5 с от начала его движения.
29) На наклонной плоскости, образующей угол 41( с горизонтом, лежит брусок массой 1,25 кг. К бруску привязана нить, перекинутая через блок с неподвижной осью, укрепленной у основания наклонной плоскости. Блок имеет форму диска массой 540 г и радиусом 10 см. Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен 0,18. К свободному концу нити привязан груз массой 3,1 кг. На оси блока действует тормозящий момент, равный 0,15 Н(м. Найти изменение потенциальной энергии бруска за 4,3 с от начала его движения и работу, совершаемую за это время силой тяжести, действующей на груз.
30) На горизонтальном столе лежит брусок массой 1,7 кг. К бруску привязана нить, перекинутая через блок с неподвижной осью, укрепленной на краю стола. Момент инерции блока относительно оси равен 0,12 кг∙м2, радиус ( 10см. К свободному концу нити привязывают груз массой 0,84 кг и отпускают его, после чего система начинает движение. На оси блока действует тормозящий момент, равный 0,5 Н∙м. Коэффициент трения бруска о поверхность стола равен 0,1. Найти работу, совершенную за 5 с от начала движения силой тяжес-ти, действующей на груз: 1) полную; 2) по преодолению силы трения, действующей на брусок; 3) по преодолению силы трения, действующей на оси блока.
31) На тонком невесомом горизонтально расположенном стержне жестко закреплены невесомый блок радиусом 10 см и маховое колесо. На блок намотана нить, к концу которой привязан груз массой 1,1 кг. Стержень расположен в пазах держателя так, что может вращаться вокруг собственной оси. На оси блока действует постоянный тормозящий момент. Груз опускается из состояния покоя с высоты 0,58 м за 1,3 с. Пройдя положение равновесия, груз не останавливается, а поднимается вверх на высоту 41 см. Найти: 1) модуль тормозящего момента, действующего на стержень со стороны держателя; 2) момент инерции колеса.
32) На барабан массой 820 г, имеющий форму диска радиусом 20 см, намотана нить, к концу которой привязан груз массой 600 г. На оси барабана действует постоянный тормозящий момент. Найти модуль этого момента, если потенциальная энергия груза при его опускании за 2 с изменилась на 240 Дж, изменение кинетической энергии барабана и работу силы трения за это время.
33) Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 6 м/с. На какую максимальную высоту над точкой бросания поднимется мяч?
34) Камень бросили с Земли со скоростью 12 м/с вверх под углом к горизонту. Найти модуль скорости камня на высоте 4 м над Землей.
35) Тело брошено вертикально вверх со скоростью 40 м/с. На какой высоте относительно точки бросания кинетическая энергия тела будет равна половине его потенциальной энергии? Потенциальную энергию тела в точке бросания принять равной нулю.
36) Тело массой 5 кг бросили с Земли вертикально вверх со скоростью 3м/с. С какой скоростью тело упало на Землю, если сила сопротивления воздуха на всем пути совершила работу, равную (25 Дж?
37) Обруч скатился с горки из состояния покоя без проскальзывания. Скорость оси обруча у основания горки оказалась равной 5,6 м/с. Найти высоту, скоторой скатился обруч.
38) Шар радиусом 12 см катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Скорость центра шара равна 2,4 м/с. На какую высоту по наклонной плоскости закатится шар, если его момент инерции равен 5,75∙10-3 кг∙м2?
39) Шар и обруч одинаковой массы скатываются без скольжения с наклонной плоскости высотой 0,25 м. Во сколько раз будут отличаться значения скорости центров шара и обруча у основания наклонной плоскости?

2.2. Закон сохранения импульса

40) Граната массой 0,6 кг, имевшая скорость 5 м/с, направленную вертикально вверх, разорвалась на два осколка. Первый осколок массой 200 г полетел вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Найти модуль и направление импульса второго осколка.
41) Снаряд массой 10 кг, летевший вертикально вверх, разорвался в верхней точке траектории на три осколка. Первый осколок массой 5,3 кг стал двигаться в горизонтальном направлении со скоростью 94 м/с, второй – вверх со скоростью 57 м/с. Определить модуль и направление скорости третьего осколка, масса которого равна 2,4 кг.
42) Снаряд массой 12 кг, имевший горизонтально направленную скорость 167 м/с, разорвался на две части. Меньшая часть снаряда массой 3,4 кг полетела вперед под углом 60( вверх к горизонту со скоростью 192 м/с. Найти модуль и направление скорости второй части снаряда.
43) Мальчик массой 60 кг, стоящий на коньках на поверхности льда, бросает в горизонтальном направлении мяч массой 0,8 кг со скоростью 5 м/с 1)относительно Земли; 2) относительно мальчика. Найти модуль и направление импульса, полученного мальчиком в момент броска.
44) В лодке массой 247 кг стоит человек массой 66 кг. Лодка плывет со скоростью 2,3 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью 4,1 м/с (относительно лодки). Найти скорость лодки после прыжка человека: 1) вперед по движению лодки; 2) в сторону, противоположную движению лодки.
45) Бронированная платформа с пушкой имеет массу 20000 кг и движется по горизонтальной поверхности со скоростью 4,5 км/ч. Угол между поверх-ностью и стволом пушки равен 30(. Из пушки произведен выстрел в направлении движения платформы. Масса снаряда равна 26 кг, его скорость относительно пушки ( 700 м/с. Найти скорость движения платформы с пушкой после выстрела.
46) На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со ско-ростью 7,5 м/с, укреплено орудие. Орудие произвело выстрел под углом 24( к горизонту, после чего модуль скорости платформы уменьшился в 2,1 раза, а направление 1) не изменилось; 2) изменилось на противоположное. Найти скорость снаряда (относительно Земли) в момент вылета из ствола орудия, если масса снаряда равна 27 кг, а масса платформы с орудием ( 1895 кг.
47) Тележка массой 120 кг движется по рельсам со скоростью 6,3 м/с. Стележки соскакивает человек массой 77 кг со скоростью, направленной горизонтально под углом 30( к направлению движения тележки. Модуль скорости тележки уменьшился при этом до 5,1 м/с. Какова была скорость человека относительно тележки в момент соскока?
48) На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесиками. На одном конце доски стоит человек. Масса человека равна 64 кг, дос-ки ( 24 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет по доске к противоположному ее концу со скоростью 1,3 м/с относительно доски? Массой колес пренебречь, трение не учитывать.
49) Тележка массой 125 кг вместе с человеком массой 75 кг движется со скоростью 2,5 м/с. Человек с постоянной скоростью начинает идти по тележке. При какой скорости человека относительно тележки она остановится? Трением колес тележки о землю пренебречь.
50) Лодка с находящимся в ней человеком покоится на поверхности озера. Человек переходит с кормы на нос. На сколько сдвинется при этом лодка? Масса лодки равна 212 кг, человека ( 83 кг, длина лодки ( 3,4 м. Сопротивлением воды пренебречь.
51) Лодка длиной 3,24 м и массой 117 кг ом покоится на поверхности озера. На носу находится рыбак массой 59 кг, на корме – массой 92 кг. На какое расстояние сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки пройдут по лодке и поменяются местами? Сопротивлением воды пренебречь.
52) Из покоящегося орудия вылетает снаряд со скоростью 500 м/с под углом 60( к горизонту. Определить скорость отката орудия и расстояние, на которое откатится орудие, если коэффициент трения при откате равен 0,3. Масса орудия равна 1500 кг, снаряда ( 12 кг.
53) Человек массой 72 кг, стоящий на поверхности льда, бросает камень массой 1,8 кг в горизонтальном направлении с высоты 1,5 м. Камень падает на лед на расстоянии 3,6 м от места бросания. На какое расстояние откатится человек, если коэффициент трения коньков о лед равен 0,05?
54) Снаряд массой 22 кг, летящий горизонтально со скоростью 384 м/с, падает в вагонетку с песком массой 1830 кг и застревает в нем. С какой скоростью стала двигаться вагонетка со снарядом, если до падения снаряда вагонетка двигалась со скоростью 2,0 м/с по направлению движения снаряда? С какой скоростью стала бы двигаться вагонетка, если бы снаряд летел против движения вагонетки?
55) Тележка массой 100 кг, движущаяся со скоростью 1,2 м/с, сталкивается с тележкой массой 300 кг, движущейся навстречу с такой же по модулю скоростью, и сцепляется с этой тележкой. Определить скорость тележек после столкновения.
56) На подножку вагонетки, движущейся со скоростью 5 м/с, прыгает человек массой 60 кг в направлении, перпендикулярном скорости вагонетки. Масса вагонетки равна 240 кг. Найти скорость движения по рельсам вагонетки с человеком.
57) Пуля массой 13 г, летящая со скоростью 100 м/с, попадает в покоящийся деревянный брусок массой 1,2 кг и застревает в нем. Найти кинети-ческую энергию бруска сразу после попадания пули.
58) Две материальные точки, двигавшиеся со скоростью 10 м/с навстречу друг другу, после абсолютно неупругого удара стали двигаться со скоростью 5м/с. Найти отношение масс материальных точек.
59) В тележке с песком общей массой 50 кг, двигавшейся по инерции горизонтально со скоростью 2 м/с, застревает снаряд массой 20 кг, летевший навстречу тележке со скоростью 16 м/с, направленной вниз под углом 60( к горизонту. Найти скорость тележки после попадания снаряда и количество теплоты, выделившееся при взаимодействии снаряда и тележки. Какое расстояние проедет тележка со снарядом до остановки, если коэффициент сопротивления равен 0,02?
60) На конце вертикально висящей нити длиной 1,5 м находится шар массой 1,3 кг. В шар попадает летящая горизонтально со скоростью 68 м/с пластиковая пуля массой 7,5 г и застревает в нем. На какую высоту поднимется шар? Какова кинетическая энергия системы после удара?
61) Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на легком жестком вертикально расположенном стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до шара равно 1,4 м. Найти скорость пули до удара, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на 10(.
62) На конце легкого тонкого вертикально расположенного стержня длиной 1,1 м укреплен шар массой 635 г. В центр шара попадает пуля массой 15 г, имеющая в момент удара скорость 210 м/с и направленная под углом 30( вниз к горизонту. Считая удар абсолютно неупругим и центральным, найти, на какой угол отклонится стержень после удара. Масса стержня много меньше массы шара.
63) Два соприкасающихся шара подвешены на параллельных вертикальных нитях одинаковой длины. Расстояния от точек подвеса нитей до центров шаров одинаковы. Масса первого шара равна 0,4 кг, второго ( 250 г. Первую нить отклоняют так, что шар поднимается на высоту 4,5 см, и отпускают его. На какую высоту поднимутся шары после абсолютно неупругого соударения? Высота подъема шаров много меньше длины нитей.
64) Два пластилиновых шара висят на параллельных вертикальных нитях одинаковой длины, соприкасаясь друг с другом. Расстояния от точек подвеса нитей до центров шаров одинаковы и равны 0,5 м. Масса первого шара равна 300 г, второго ( 200 г. Первую нить отклоняют на некоторый угол и отпускают. После удара шары слипаются, а нити отклоняются так, что образуют с вертикалью угол, равный 30(. Найти импульс первого шара перед ударом и часть начальной энергии первого шара, которая пошла на нагревание шаров.
65) Боек свайного молота массой 0,59 т падает на сваю массой 150 кг. Найти КПД молота, считая удар абсолютно неупругим.
66) Молотком, масса которого 800 г, забивают в стену гвоздь массой 12 г. Определить КПД молотка при данных условиях. Удар считать абсолютно неупругим. К какому соотношению масс молотка и гвоздя следует стремиться при забивании гвоздей?
67) В цирковом номере на грудь человека ставят наковальню массой 10кг, по которой ударяют молотом массой 1,8 кг. С какой скоростью должен двигаться молот перед абсолютно неупругим ударом, чтобы после удара кинетическая энергия системы не превышала 16 Дж?
68) Забивание свай производится при помощи копра, основной частью которого является падающий груз – боек. При каком отношении массы бойка к массе сваи КПД копра равен 60 %? Удар считать абсолютно неупругим.
69) Боек копра массой 400 кг ударяет со скоростью 4,0 м/с по свае массой 100 кг. Удар считать абсолютно неупругим. Определить энергию, которая расходуется: 1) на углубление сваи в грунт; 2) на деформацию сваи. Чему равен КПД копра при данных условиях?
70) Молотком массой 400 г забивают в стену гвоздь массой 11 г. Удар считать абсолютно неупругим. Какая часть энергии молотка расходуется на расплющивание шляпки гвоздя и нагревание молотка и гвоздя? При каком соотношении масс молотка и гвоздя КПД молотка будет равен 90 %?
71) Боек копра массой 800 кг падает на сваю массой 200 кг. Энергия, затраченная на углубление сваи в грунт, равна 8,0 кДж. Считать удар бойка о сваю абсолютно неупругим. Определить высоту, с которой падает боек на сваю, и КПД копра.
72) С помощью бойка массой 200 кг, падающего с высоты 300 см, забивают сваю массой 100 кг. Определить среднюю силу сопротивления грунта, если при одном ударе свая погружается в грунт на 2,0 см. Сопротивлением воздуха пренебречь. Удар считать абсолютно неупругим.
73) При помощи копра забивают сваю массой 70 кг. Боек копра имеет массу 400 кг. При ударе боек опускается на 1,5 м, включая движение вместе со сваей, углубляющейся в грунт на 4,0 см. Определить: 1) силу сопротивления грунта движению сваи; 2) КПД копра.
74) Паровой молот массой 12 т падает со скоростью 5,0 м/с на наковальню, масса которой вместе с отковываемым куском железа равна 250 т. Определить: 1)производимую механизмом работу по расплющиванию железа; 2) энергию, потерянную на сотрясение фундамента; 3) КПД механизма. Удар считать абсолютно неупругим.
75) Молот массой 230 кг падает на поковку, масса которой вместе с наковальней равна 2570 кг. Энергия, идущая на деформацию поковки, равна 370Дж. Считая удар абсолютно неупругим, определить: 1) скорость молота в момент удара; 2) энергию, затраченную на сотрясение фундамента.
76) Молот массой 1,5(104 кг ударяет по раскаленной болванке, лежащей на наковальне, и деформирует ее. Масса наковальни вместе с болванкой составляет 20(103кг. Определить КПД механизма.
77) Молот массой 500 кг падает на наковальню, масса которой вместе с деформируемым телом равна 25 т. Энергия, идущая на сотрясение фундамента, равна 150 Дж. Определить: 1) с какой высоты падает молот; 2) энергию, идущую на деформацию тела. Удар считать абсолютно неупругим.
78) При каком соотношении масс молота и наковальни КПД молота равен 70 %? Удар считать абсолютно неупругим. К какому соотношению масс молота и наковальни следует стремиться при ковке металла?
79) Пуля массой 9 г, летящая горизонтально со скоростью 150 м/с, попадает в лежащий на столе брусок массой 250 г и, потеряв половину своей кинетической энергии, вылетает из бруска. Какой импульс приобретает брусок? Какое количество тепла выделяется в бруске при взаимодействии его с пулей?
80) Шар массой 0,2 кг подвешен на абсолютно твердом легком вертикально расположенном стержне. Пуля массой 9 г, летевшая вверх под углом 15( к горизонту со скоростью 412 м/с, пробивает шар и продолжает двигаться в том же направлении. Стержень при этом отклоняется на угол 5. С какой скоростью пуля вылетает из шара? Какая часть энергии пули расходуется на нагревание шара? Расстояние от точки подвеса до центра шара равно 0,76 м.
81) Два соприкасающихся свинцовых шара массой 400 и 200 г подвешены на параллельных вертикальных нитях. Расстояние от точек подвеса нитей до цент-ров шаров одинаково и равно 0,6 м. Меньший шар смещают так, что нить образует с вертикалью угол, равный 30, и отпускают. На какой угол от вертикали отклонилась после удара нить, на которой подвешен меньший шар, если нить, на которой подвешен больший шар, отклонилась на 10(? Какая часть механической энергии системы после удара перешла в тепловую?
82) Два соприкасающихся деревянных шара подвешены на параллельных вертикальных нитях. Расстояние от точек подвеса нитей до центров шаров одинаково. Масса первого шара равна 0,24 кг, второго ( 130 г. Отклоняя нить, первый шар поднимают на высоту 5,0 см и отпускают. На какую высоту поднимет-
ся каждый шар после соударения, если удар неупругий, а тепловые потери энергии при ударе составляют: 1) 50%; 2)18% от начальной энергии первого шара? Высота подъема шаров много меньше длины нитей.
83) Мяч, имевший нулевую начальную скорость, падает на Землю. После удара мяч поднимается на высоту 3,1 м. Найти высоту, с которой падал мяч, если известно, что потери его энергии при ударе составили 30%.
84) С балкона, расположенного на высоте 20 м, бросают вниз мячик под углом 45 к горизонту с начальной скоростью 2,1 м/с. После удара о землю мячик поднялся на высоту 14 м. Найти потери энергии мяча при ударе, модуль и направление его скорости сразу после удара. Масса мячика равна 220 г.
85) Две частицы движутся навстречу друг другу, первая – со скоростью 3Мм/с, вторая – 2 Мм/с. Найти скорость каждой частицы после центрального абсолютно упругого удара, если масса первой частицы 1) в четыре раза меньше массы второй; 2) в два раза больше массы второй.
86) Два метеорита движутся по одной траектории. Один метеорит движется со скоростью 52 км/с относительно Солнца, другой догоняет его, двигаясь со скоростью 175км/с относительно Солнца. Определить отношение масс метеоритов, если в результате соударения второй метеорит остановился. Удар считать центральным и абсолютно упругим.
87) Движущийся нейтрон с кинетической энергией 1,3∙10(22 Дж сталкивается с покоящимся ядром углерода и после абсолютно упругого удара отскакивает от него в направлении, противоположном первоначальному направлению своего движения. Во сколько раз изменится кинетическая энергия нейтрона после удара?
88) Частица массой 1,3 г столкнулась с покоящейся частицей массой 2,4г. Удар считать абсолютно упругим центральным. Какую часть кинетической энергии потеряла налетающая частица?
89) Два стальных шара радиусом 0,08 и 0,05 м, соприкасаясь, висят на параллельных вертикальных нитях. Расстояние от точек подвеса нитей до цент-ров шаров одинаково и равно 1,25 м. Больший шар подняли так, что нить, на которой он висит, отклонилась на угол 5(. Затем шар отпустили. Найти импульсы шаров непосредственно до и сразу после абсолютно упругого центрального удара.
90) Два одинаковых шара массой 0,85 кг каждый, соприкасаясь, висят на параллельных вертикальных нитях одинаковой длины, равной 80 см. Одну из нитей отклонили от вертикали на некоторый угол и отпустили. После абсолютно упругого удара вторая нить отклонилась на угол 17(. На какую высоту подняли первый шар перед ударом?
91) Два шара одинакового радиуса массой 0,3 и 1,0 кг висят, соприкасаясь, на вертикальных нитях одинаковой длины, равной 0,6 м. Нити отклоняют в противоположных направлениях на одинаковый угол, равный 20, и отпускают. Найти высоту, на которую поднимется каждый шар, и изменение импульса каждого шара после абсолютно упругого центрального удара.
92) Частица массой 5,010-24 г, первоначально обладавшая кинетической энергией 9,0нДж, после упругого столкновения с покоившейся частицей массой 4,010-24 г отклоняется от первоначального направления движения. В результате столкновения покоившаяся частица получает кинетическую энергию 5,2 нДж. На какой угол от первоначального направления движения отклонилась первая частица?
93) При бомбардировке гелия (-частицей с энергией 32 эВ налетающая частица отклонилась на угол 60 от первоначального направления движения. Считая удар абсолютно упругим, определить энергию (-частицы после столкновения. 1 эВ = 1,6∙10-19 Дж.
94) На покоящуюся частицу налетает другая точно такая же частица со скоростью 2,6 м/с. В результате абсолютно упругого столкновения налетающая частица изменила направление своего движения на угол, равный 30(. Определить скорость каждой частицы после удара.

2.3. Закон сохранения момента импульса

95) Скамья Жуковского представляет собой горизонтально расположенный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр диска. Человек с вытянутыми в стороны руками стоит на скамье Жуковского, которая вращается с частотой 0,8 об/с. С какой частотой станет вращаться скамья с человеком, если человек прижмет руки к груди, уменьшив тем самым суммарный момент инерции системы в 1,2 раза?
96) Горизонтально расположенная платформа в виде диска массой 80 кг и радиусом 60 см вращается с частотой 32 об/мин. На платформе лежит диск массой 3,4 кг и радиусом 14,4 см. Центр диска расположен над центром платформы. С какой частотой станет вращаться система, если диск переместить так, что его центр расположится над краем платформы?
97) Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень массой 3,1 кг и длиной 2,8 м, на концах которого закреплены шары. Центры шаров совпадают с концами стержня. Масса каждого шара равна 0,73 кг, радиус равен 15см. При горизонтальном расположении стержня (когда центр стержня лежит на оси вращения) скамья вращается с частотой 0,8 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья, если человек расположит стержень вертикально на оси вращения? Момент инерции человека и платформы равен 22 кг∙м2.
98) Крестовина в виде двух одинаковых взаимно перпендикулярных тонких стержней с соединенными центрами вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр крестовины. Длина каждого стержня равна 0,7 м, масса – 0,8 кг. На стержнях на равных расстояниях от центра крес-товины симметрично относительно него расположены четыре одинаковых шара массой 5 кг и радиусом 0,07 м каждый. Шары могут двигаться без трения вдоль стержней. При угловой скорости системы 14 рад/с центры шаров находились на расстоянии 20 см от концов стержней. Какова будет угловая скорость системы в момент времени, когда поверхности шаров достигнут концов стержней?
99) Карусель в виде однородного диска массой 160 кг и радиусом 1,5м вращается с частотой 1 об/с. На краю карусели стоит мальчик. С какой частотой станет вращаться карусель, если мальчик со скоростью, направленной горизонтально вдоль радиуса карусели, 1) спрыгнет с карусели; 2) перейдет в ее центр. Когда мальчик стоит на краю карусели, его момент инерции относительно оси вращения равен 1,1 кг∙м2.
100) На концах тонкого однородного стержня массой 1100 г и длиной 60см закреплены два шара. Центры шаров совпадают с концами стержня. Масса каждого шара равна 100 г, радиус равен 6 см. Система вращается с частотой 2 об/с вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр. Скакой частотой станет вращаться стержень, если шары слетят с него?
101) Горизонтальная платформа в виде диска массой 12 кг, радиусом 60см вращается с частотой 30 об/с вокруг оси, перпендикулярной к плоскости платформы и проходящей через ее центр. На платформе на расстоянии 10 см от края закреплен шар массой 2 кг, радиусом 20 см. С какой частотой станет вращаться платформа, если шар слетит с нее?
102) Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит осью вращения колеса массой 3,0 кг, расположенного на верхнем конце стержня, и совпадает с осью симметрии колеса. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой 11об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья, если человек повернет стержень на угол, равный 180(, и колесо окажется на нижнем конце стержня? Суммарный момент инерции человека и скамьи составляет 5,6 кг∙м2, радиус колеса равен 20см. Массу колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.
103) Скамья Жуковского вращается с частотой 5,3 об/мин. На скамье стоит человек и держит в руках стержень, расположенный горизонтально. Стержень совпадает с осью шара, вращающегося на стержне с частотой 18,2 об/мин. Центр шара находится на расстоянии, равном его радиусу, от конца стержня. Скакой частотой станет вращаться скамья, если человек расположит стержень вертикально вдоль оси вращения скамейки и шар окажется на нижнем конце стержня? Момент инерции человека и скамьи составляет 6,7 кг∙м2, масса шара равна 1,0 кг, его радиус равен 20 см. В начальном положении стержня расстояние от оси скамьи до центра шара равно 50 см. Моментом инерции стержня пренебречь.
104) Внутри покоящегося циркового колеса с закрепленной осью вращения на нижней части внутренней поверхности сидит белка массой 420 г. В некоторый момент времени белка начинает бежать по внутренней поверхности колеса. С какой линейной скоростью относительно колеса должна двигаться белка, чтобы все время оставаться на одном и том же месте относительно арены цирка? Масса колеса равна 870 г, диаметр равен 80 см. Колесо считать тонкостенным полым цилиндром, белку – материальной точкой.
105) Горизонтальный диск может вращаться вокруг собственной оси. По поверхности диска проложены рельсы игрушечной железной дороги. Рельсы образуют окружность радиусом 50 см, центр которой совпадает с осью диска. Масса диска равна 10 кг, его радиус – 60 см. На рельсы неподвижного диска был поставлен заводной паровозик массой 0,8 кг и выпущен из рук. С какой угловой скоростью начнет вращаться диск, если паровозик начнет движение по рельсам со скоростью 0,8 м/с относительно рельсов?
106) На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 2,1 м, стоит человек. Масса платформы равна 200 кг, человека ( 80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вра-
щаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью 1,9 м/с относительно платформы. Рассмотреть случаи: 1) платформа первоначально покоилась; 2) платформа первоначально вращалась с угловой скоростью 1,7 рад/с, и человек пошел в направлении вращения; 3) платформа первоначально вращалась с угловой скоростью 1,7 рад/с, и человек пошел в направлении, противоположном направлению вращения.
107) Горизонтальная платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг собственной оси. На краю покоящейся платформы стоял человек. На какой угол повернулась платформа, если человек, прошел вдоль ее края и вернулся в первоначальное положение 1) относительно платформы; 2) относительно Земли? Масса платформы равна 240 кг, человека ( 60 кг. При вычислении момента инерции человека считать человека материальной точкой.
108) На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом 1,3 м, стоит человек. Масса платформы равна 150 кг, человека ( 70 кг. Если человек пойдет вдоль края платформы с постоянной скоростью, то платформа будет вращаться с постоянной частотой 0,7 об/с. Какое время потребуется человеку для того, чтобы, обойдя платформу по краю, вернуться в ту же точку на платформе, с которой стартовал? Рассмотреть случаи: 1) платформа первоначально покоилась; 2) платформа первоначально вращалась с угловой скоростью 1,8 об/с, и человек пошел в направлении вращения платформы.
109) Шар массой 800 г и радиусом 3 см, катящийся по горизонтальной плоскости без скольжения, налетает со скоростью 8 м/с на покоящийся шар такого же радиуса массой 2,0 кг. Найти скорость каждого шара после абсолютно неупругого удара.
110) Шар массой 2,0 кг, радиусом 2,4 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, имея импульс 10 кг∙м/с, и сталкивается с покоящимся шаром массой 8,0кг и радиусом 3,6 см. После удара направление движения налетевшего шара изменилось на 30. Считая удар абсолютно упругим, определить импульсы обоих шаров после удара.
111) Шар массой 200 г, катящийся без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 10 м/с, налетает на неподвижный шар массой 100 г такого же радиуса. Удар лобовой, абсолютно упругий. Найти скорость каждого шара после удара.
112) На тонком вертикальном стержне длиной 0,3 м и массой 0,2 кг закреп-лен шар массой 600г и радиусом 0,03 м. Центр шара совпадает с концом стержня. Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Пуля массой 15 г, летящая вниз со скоростью 200 м/с под углом 30( к горизонту по направлению к центру шара, попадает в шар и застревает в нем. На какой угол отклонится стержень после удара?
113) Вертикально висящий однородный стержень может вращаться вокруг оси, проходящей через его верхний конец. Масса стержня равна 1,7 кг, его длина ( 1,4 м. Пуля массой 20 г, летящая вниз под углом 45( к горизонту со ско-ростью 10м/с, застревает в середине стержня. Каково изменение потенциальной энергии стержня в момент отклонения от вертикали на максимальный угол по сравнению с начальным значением? Трением пренебречь.
114) Горизонтально летящая пуля массой 30 г попадает в нижний конец вертикально висящего стержня массой 2,0 кг и длиной 0,5 м и застревает в нем. От удара стержень отклоняется от вертикали на 8(. Найти скорость пули перед ударом, если ось вращения стержня проходит через его верхний конец. Со стороны крепления на стержень действует постоянный тормозящий момент, равный 0,4 Н(м.
115) Покоящаяся крестовина сделана из двух одинаковых тонких стержней, расположенных взаимно перпендикулярно. Середины стержней соединены. Крестовина может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее центр. Масса каждого стержня равна 1,5 кг, длина ( 0,5 м. Пуля массой 30 г, летящая горизонтально в плоскости фигуры со скоростью 50 м/с, попадает в вертикально расположенный стержень и застревает в нем в точке, расположенной на расстоянии 0,2 м выше центра крестовины. Система начинает вращаться. Сколько оборотов сделает крестовина до остановки, если на нее со стороны крепления действует постоянный тормозящий момент 0,2 Н(м? Найти кинетическую энергию системы после удара, а также потерю энергии на деформацию стержня и пули.
116) Горизонтально расположенная карусель массой 107 кг в форме диска диаметром 2,0 м может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На карусель прыгает мальчик массой 35 кг и приземляется в точке, находящейся на расстоянии 0,7 м от центра карусели. Скорость мальчика в момент приземления направлена горизонтально по касательной к окружности, по которой
движется точка приземления мальчика, модуль скорости равен 2,1 м/с. Найти: 1)угловую скорость, с которой стала вращаться карусель после приземления мальчика; 2) изменение кинетической энергии системы в результате прыжка.
117) Вертикально висящий стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Масса стержня ( 0,7 кг, длина ( 0,5 м. Пуля массой 50 г, летящая горизонтально, пробивает стержень на расстоянии 0,1 м от нижнего конца. Скорость пули до и после удара равна 45 и 28м/с соответственно. На какой угол отклонился стержень? Какова кинети-ческая энергия стержня после удара? Трением на оси пренебречь.
118) Пуля массой 20 г, летящая горизонтально, пробивает центр вертикально висящего стержня массой 1,2 кг и длиной 90 см и вылетает со ско-ростью 24 м/с. Стержень отклонился от вертикали на 25(. Найти скорость пули до удара, если ось вращения стержня расположена горизонтально и пересекает стержень на расстоянии, равном 1/3 его длины от верхней точки стержня. Трением на оси пренебречь.
119) Маятник представляет собой прямой тонкий стержень массой 1 кг и длиной 0,5 м, на конце которого находится шар массой 6 кг и радиусом 20 см. Центр шара лежит на оси стержня, поверхность шара соприкасается с концом стержня. В состоянии равновесия стержень расположен вертикально, ось вращения проходит через его верхний конец. В покоящийся шар попадает маленький стальной шарик массой 24 г, летящий горизонтально со скоростью 217 м/с. На какую высоту поднимется центр шара, если удар абсолютно упругий и центральный?
120) Вертикально расположенный стержень может вращаться вокруг закрепленной горизонтальной оси, проходящей через центр стержня. Летящий горизонтально стальной шарик попадает в верхний край стержня и отскакивает от него после абсолютно упругого удара. Направление скорости шарика перпендикулярно оси вращения. Найти скорость шарика до и после удара, если угловая скорость стержня после удара равна 100 рад/с. Масса шарика равна 14,4г, стержня ( 180 г, его длина ( 60 см.

3. ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Задача. От удара бойка копра массой 520 кг, свободно падавшего с некоторой высоты, свая погружается в грунт на 4,4 см. Определить силу сопротивления грунта, считая ее постоянной, если скорость бойка перед ударом равна 9,7 м/с. Масса сваи равна 80 кг. Удар считать абсолютно неупругим. Какая часть энергии бойка перешла в тепловую энергию в результате удара?
Дано:
M = 520 кг
S = 4,4 см
(1 = 9,7 м/с
m = 80 кг

Найти:
Fc, k – ?

Решение. Непосредственно перед ударом кинетическая энергия и импульс системы равны энергии и импульсу копра (рис. 1, а):
;(3.1)
(3.2)
Сразу после абсолютно неупругого удара (рис. 1, б) кинетическая энергия и импульс системы – это энергия и импульс совместного движения сваи и копра со скоростью :
; (3.3)
. (3.4)
В момент удара сила взаимодействия молота и сваи (сила удара) много больше внешних сил и поэтому практически полностью определяет изменение движения тел. Следовательно, систему молот – свая в момент удара можно считать замкнутой, и для нахождения скорости сов-местного движения можно использовать закон сохранения импульса:
. (3.5)
Подставив в формулу (3.5) выражения (3.2) и (3.4), получим:
= , (3.6)
отсюда
( 3.7)
следовательно,
. (3.8)
В соответствии с законом сохранения энергии
, (3.9)
где Q – количество теплоты, выделившееся при ударе,
поэтому долю энергии, перешедшей в момент удара в тепловую, можно вычислить по уравнению:
. (3.10)
Последовательная подстановка формул (3.1) и (3.8) в уравнение (3.10) приводит к выражению:
. (3.11)
Подставим в выражение (3.11) численные значения:
.
Рассмотрим процесс углубления сваи. В этом процессе на систему действуют внешние силы: тяжести и сопротивления грунта.
Согласно теореме об изменении кинетической энергии ее приращение от момента удара копра о сваю до их остановки равно алгебраической сумме работ силы сопротивления и силы тяжести:
,(3.12)
где ( кинетическая энергия системы в момент остановки, = 0;

–работа сил тяжести и сопротивления грунта соответственно.
Свая погружается в грунт на расстояние S, поэтому работа силы тяжести по перемещению системы
(3.13)
где учтено, что направления перемещения системы и силы тяжести совпадают (рис. 1, в).
Направления силы сопротивления и перемещения противоположны (см. рис. 1, в), следовательно, угол между ними равен π.
Сила сопротивления грунта считается постоянной на протяжении всего процесса углубления, поэтому работа силы сопротивления
. (3.14)
Подставив выражения (3.3), (3.13) и (3.14) в формулу (3.12), получим:
. (3.15)
Из уравнения (3.15) с учетом соотношения (3.8) найдем силу сопротивления грунта:
. (3.16)
Подставив в формулу (3.16) численные данные, вычислим силу сопротивления грунта:

Ответ: ;

Библиографический список
1. Дроздова И. А. Законы сохранения в механике (примеры решения задач) / И.А. Дроздова, Г. Б. Тодер / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск. 2009. 36 с.
2. Савельев И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев. М., 1998. Т.3. 304 с.
3. Джанколи Д. Физика / Д. Джанколи. М., 1989. Т. 2. 667 с.
4. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. М., 2002. 478 с.
5. Никитин Н. Н. Курс теоретической механики / Н. Н. Никитин. М., 1990. 607 с.
6. Детлаф А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М., 2001. 607 с.



Учебное издание


Дроздова Илга Анатольевна,
ТОДЕР Георгий Борисович


Законы сохранения в механике
(Задачи)

_______________________
Редактор Т. С. Паршикова

* * *
Подписано в печать . 10.2009. Формат 60(84 1/16.
Плоская печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,1. Уч.-изд. л. 2,3.
Тираж 1000 экз. Заказ .

* *
Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа
Типография ОмГУПСа

*
644046, г. Омск, пр. Маркса, 35





И. А. Дроздова, Г. Б. Тодер
Л. А. Литневский, Н. В. Покраса, С. Н. Смердин









Законы Сохранения в механике
(Задачи)


















Омск 2009
Если направления оси Z и вектора угловой скорости совпадают, то Мφ = Мz; если направления противоположны, то Мφ = (Мz.

Заметим, что второе слагаемое в приведенном расчетном выражении много меньше первого, т. е. в уравнении (3.12) работа силы тяжести по перемещению системы (связанная с изменением потенциальной энергии системы) существенной роли не играет, поэтому можно считать, что на преодоление сопротивления грунта расходуется только энергия совместного движения копра и сваи.










34


33



M

m











а б в

Рис. 1

























































































Определить