Сетевая библиотекаСетевая библиотека

Основные теоремы. Исследование функции

Дата публикации: 09.10.2017
Тип: Текстовые документы DOC
Размер: 310 Кбайт
Идентификатор документа: -152796494_451904477
Файлы этого типа можно открыть с помощью программы:
Microsoft Word из пакета Microsoft Office
Для скачивания файла Вам необходимо подтвердить, что Вы не робот

Предпросмотр документа

Не то что нужно?


Вернуться к поиску
Содержание документа
Лекции 5. Основные теоремы дифференциального исчисления. Приложения производных к исследованию функции

Содержание лекции: теоремы о дифференцируемых функциях: Ролля, Лагранжа. Формула Тейлора. Правило Лопиталя.
Монотонность функции. Точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба.

1. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя
Теорема 5.1(Ролля)
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a; b], дифференцируема, по крайней мере, на (а; b), а на концах отрезка принимает равные значения: f(a) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка с((a; b) такая, что f ((c) = 0.
Сравните эту теорему с I теоремой Больцано-Коши (теорема 3.5). Там речь шла о существовании нуля функции, а здесь – о нуле производной.
Доказательство. 1) Если f(x) = const на [a; b], то условие f(a) = f(b) выполняется с очевидностью. Но и f ((x) = (const)( = 0 также выполняется, причем (х([a; b].
2) Пусть f(x) ( const на [a; b]. Так как функция f(x) непрерывна на отрезке, то, согласно теореме Вейерштрасса (теорема 3.7), она достигает на нем наименьшего т и наибольшего М значений. Очевидно М >т. Причем эти значения не могут достигаться на концах отрезка, т.к. f(a) = f(b). Значит, хотя бы одно из них достигается во внутренней точке с([a; b].Для определенности положим f(c) = т. Так как функция f(x) дифференцируема в интервале (a; b), то в точке с существует конечная производная:
.
Так как f(c) = т – наименьшее значение функции, то f(c + (x) – f(c)(0 для всех х ( с и для любого (x. Значит, ( 0 при (x > 0 и ( 0 при (x < 0. Но тогда
, а .
Поскольку функция в точке х = с имеет конечную производную, то
f ((c) = f ((c+0) = f ((c–0),
а это возможно лишь при условии f ((c) = f ((c+0) = f ((c–0) = 0. ЧТД.
С геометрической точки зрения Теорема Ролля означает: если крайние ординаты точек кривой равны, то на кривой найдется, по крайней мере, одна точка, в которой касательная горизонтальна (рис. 1).







Теорема 5.2.(Лагранжа)
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a; b] и дифференцируема, по крайней мере, на (а; b). Тогда существует хотя бы одна точка с((a; b) такая, что
, или f(b) – f(a) = f ( (c)(b – a) .
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
((х) = f(х) – f(a) – ( х – a).
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Действительно, ((х) определена и непрерывна на [a; b]. На (а; b) эта функция дифференцируема, так как составлена из дифференцируемых функций f(x) и линейной функции , которая определена, непрерывна и дифференцируема на любом отрезке. Кроме того,
((а) = ((b) = 0.
Значит, согласно теореме Ролля, найдется хотя бы одна точка с ((a; b), такая, что (((с) = 0. Но тогда
( ((с) = f ((с) – = 0, откуда . ЧТД.
Рассмотрим геометрический смысл этой теоремы. Заметим сначала, что
= = tg( (рис. 2) – т.е. угловому коэффициенту хорды АВ.
Но f ((с) = tg( – угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке (с, f(c)).
Из равенства следует равенство tg( = tg(, которое означает, что касательная и хорда имеют одинаковый наклон, т.е. параллельны между собой. Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что найдется хотя бы одна точка, в которой касательная была бы параллельно хорде.







Теорема 5.3
Если функция в некоторой окрестности точки имеет производные до -го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности справедлива формула Тейлора (п-го порядка):
.
Здесь слагаемое называется остаточным членом и может быть вычислено по формуле , а точка ( лежит между точками х и а (можно записать , ).
Формула Тейлора позволяет представить приближенно (аппроксимировать) произвольную функцию в виде многочлена:
.
Многочлен в правой части этого равенства называют многочленом Тейлора. Остаточный член (который в этом приближенном равенстве отсутствует) определяет погрешность аппроксимации.
При получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена:
,
где , .

Теорема 5.4.(Правило Лопиталя)
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки х0, причем g((x0) ( 0. Если (или () и существует (конечный или бесконечный) , то существует и .
Теорема 5.4 позволяет вычисление предела отношения двух функций, в случае неопределенности или , свести к вычислению предела отношения их производных.
Пример: 1) .
2) .

2. Монотонность функции. Экстремумы

Теорема 5.5.(необходимое условие монотонности функции)
Если функция f(x) дифференцируема и не убывает на (а; b), то f ((x)( 0 (х((а; b). Если функция f(x) дифференцируема и не возрастает на (а; b), то f ((x) ( 0 (х((а; b)
Доказательство: Пусть f (x) дифференцируема и не убывает на (а; b), т.е. (х1, х2 ((а; b): х1 < х2 выполняется f (x1) ( f(x2). Возьмем любую точку х0((а; b). В силу дифференцируемости функции f(x) существует
.
Если (х > 0, то х0 +(х > х0 и f (x0 + (х) ( f (x0), откуда (у ( 0, значит, ( 0.
Если (х < 0, то х0 +(х < х0 и f (x0 + (х) ( f (x0), откуда (у(0, но тогда ( 0. Таким образом, (согласно одной из теорем о предельном переходе в неравенстве).
Аналогично доказывается второе утверждение теоремы. Проведите это доказательство самостоятельно.
Теорема 5.6.(достаточное условие монотонности)
Если f ((x) > 0 на (а, b), то f (x) строго возрастает на этом интервале. Если f ((x) < 0 на (а, b) то f (x) строго убывает на этом интервале.
Доказательство: 1) Пусть f ((x) > 0 на (а, b). Возьмем (х1, х2 ((а; b): х1 < х2. По теореме Лагранжа имеем
),
где х0 ((х1, х2). Т.к. f ((x0) > 0, а х1 < х2, т.е. х2 – х1 > 0, то f (x2) – f (x1) > 0, откуда f (x2) > f (x1) – функция возрастает. ЧТД
2) Случай убывания функции доказать самостоятельно.
Теоремы 5.5 и 5.6. нельзя объединить в одно необходимое и достаточное условие. Действительно, условие f ((x) > 0 на (а, b) не является необходимым условием возрастания функции f (x), т.к., например, для строго возрастающей функции f (x) = х3 выполняется условие f ((x) = 3х2( 0.
С геометрической точки зрения теорема 5.6 утверждает, что если касательные к графику функции во всех точках интервала образуют острый угол с осью ОХ, то функции возрастающая. Убыванию функции соответствует тупой угол наклона касательной к оси ОХ (рис. 3).






Определение 5.1.
Точка х0(D(f) называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f(x) ( f(x0). Значение f(x0) называется минимумом функции.
Точка х0(D(f) называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f(x) ( f(x0). Значение f(x0) называется максимумом функции.
Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции. Значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Если при х ( х0 из окрестности точки х0 выполняется строгое неравенство f(x) > f(x0) или f(x) < f(x0), то в этом случае говорят о строгом экстремуме в точке х0, в противном случае – о нестрогом. На рисунке в точках А и D строгий максимум, в точках В и С нестрогий минимум.
Может так случиться, что некоторый максимум функции f(x) окажется меньше ее минимума. Это не противоречит определению, т.к. в нем говорится об окрестности точки экстремума, т.е. о близлежащих к точке экстремума точках области определения функции. Поэтому для точек максимума и минимума используется термин локальный экстремум, т.е. связанный с определенным местом.
Теорема 5.7. (необходимое условие экстремума)
Если в точке х0 функция имеет экстремум, то первая производная функции в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Доказательство: Пусть, для определенности, х0 – точка максимума. Тогда для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство
(у = f(x) – f(x0) < 0
Рассмотрим односторонние производные функции в точке х0. В силу условия (у< 0 может быть либо конечным, отрицательным числом, либо равен -(, либо равен 0. Аналогично, либо конечное положительное число, либо +(, либо 0. Т.е.
,
Отсюда следует, что f ((x0) либо не существует (т.к. f ((x0 +0) ( f ((x0 – 0) или бесконечные), либо f ((x0) = 0.
Геометрически теорема 5.7 утверждает, что в точке экстремума касательная к графику функции либо параллельна оси ОХ, либо параллельна ОУ, либо ее вообще нельзя провести (рис. 4).







Таким образом, из теоремы следует, что точки экстремума следует искать среди точек, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками (первого рода). Точка экстремума обязательно является критической точкой, но не всякая критическая точка может быть точкой экстремума. Например, для функции у = х3 точка х = 0 – критическая, т.к.
у( (0) = 0,
но точкой экстремума она не является (вспомните график этой функции).
Теорема 5.8. (достаточное условие экстремума)
Пусть х0 – критическая точка непрерывной и дифференцируемой в окрестности точки х0 функции f(x) . Если при х 0, а при x>х0 f ((x)<0, то х0 – точка максимума функции. Если при х < x0 , а при x>х0 , то х0 – точка минимума функции.
Доказательство:
Пусть при х0, а при x>х0 f ((x)<0. Рассмотрим интервал (а; b) – окрестность точки х0. Поскольку при х((а; b) , х0, то на интервале (а; х0), согласно теореме 5.6, функция возрастает, т.е. f (x)х0 f ((x)<0, то на интервале (х0; b) функция убывает, значит, вновь выполняется неравенство f (x) < f (x0). А это значит, что точка х0 – точка максимума (причем, строгого). ЧТД.
Аналогично доказывается второе утверждение, касающееся точки минимума.
Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции y= f(x) можно, придерживаясь следующего алгоритма:
Найти область определения функции.
Найти производную f( (x) заданной функции.
Найти критические точки первого рода (точки возможного экстремума) из условия f( (x) = 0 или f( (x) не существует, х(D(f).
Разбить область определения D(f) функции критическими точками на интервалы (внутри этих интервалов производная функции сохраняет знак).
Определить знак производной на каждом из полученных интервалов. На тех интервалах, где f( (x) > 0, функция возрастает, а там, где f( (x)< 0 – функция убывает.
Если при переходе через критическую точку слева направо:
f( (x) меняет знак с + на – , то эта точка есть точка максимума функции;
f( (x) меняет знак с – на + , то эта точка есть точка минимума функции;
f( (x) не меняет знак, то в этой точке экстремума функции нет.


Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Как уже отмечалось, понятие экстремума носит локальный характер, т.е. связано с некоторой окрестностью соответствующей точки. Но если функция непрерывна на отрезке [a; b], то, по теореме Вейерштрасса, на этом отрезке она достигает своего наибольшего и наименьшего значения:
( х1, х2([a; b]: f(x1) ( f(x) ( f(x2) ( х([a; b].
Нетрудно понять, что эти значения достигаются либо в точках экстремума функции, принадлежащих этому отрезку, либо в граничных точках отрезка (рис.5).





Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) (их называют глобальными экстремумами) на отрезке [a; b], нужно:
выяснить, содержится ли данный отрезок в области определения функции;
найти критические точки функции, принадлежащие этому отрезку и вычислить значение функции в этих точках;
Найти f(а) и f(b);
Сравнить все найденные значения функции и выбрать среди них наибольшее и наименьшее. Обозначают эти значения fнаиб. и fнаим. или и соответственно.
В случае, если глобальный экстремум ищется на интервале (а, b), или на полуинтервале [а, +(), или (–(, b], то нужно вместо f(а), f(b) вычислить соответствующий предел.
Пример:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = хе–2х на промежутке [–1, +().
Действуя по приведенному алгоритму, имеем
Область определения данной функции (-(; +(). Очевидно,
[–1, +()((-(; +().
Найдём критические точки и значения функции в них:
f( (x) = (хе–2х)( = е–2х –2 хе–2х = е–2х(1 – 2х) = 0 ( ( [–1, +(), и ;
Найдём значения функции на концах промежутка:
f(–1) = –е2,
f(+() = .
Сравним найденные значения: , , f(+()=0. Очевидно, , .
Заметим, что если бы значение f (+() было бы меньше f(–1) = – е2, то ответ был бы таков: наименьшего значения функция на этом промежутке не достигает. Аналогично, если бы f (+() > , то функция не достигала бы на данном промежутке наибольшего значения.



4. Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба.
Знак первой производной функции y = f(x) определяет характер роста функции: f ((х) > 0 ( f(х) возрастает, f ((х)< 0 ( f(х) убывает. Но и знак второй производной так же влияет на характер изменения функции.
Действительно, рассмотрим кривую y = f(x). Если f (((x) = (f ((x))( > 0, то производная f ( возрастает, значит, угол наклона касательной к кривой y = f(x) растёт – касательная поворачивается против часовой стрелки, а кривая изгибается вниз и лежит выше касательных, в этом случае кривую называют вогнутой (рис.6а).





Если f (((x) = (f ((x)( < 0, то f ( убывает, значит, убывает угол наклона касательной, кривая изгибается вверх и лежит ниже касательных. Эта кривая выпуклая (рис.6б).
В общем случае функция y = f(x) называется выпуклой на отрезке [a, b], если ( x 1,x2([a, b] выполняется
( .
Но поскольку это определение не наглядно, то рассмотрим такое
Определение 5.2
Кривая y = f(x) (и функция f(x) в том числе) называется выпуклой (выпуклой вверх) на [a, b] если она расположена ниже любой своей касательной.
Кривая y = f(x) (а так же функция f(x)) называется вогнутой (выпуклой вниз) на [a, b], если она расположена выше любой своей касательной.

Определение 5.3
Точка кривой y = f(x) называется точкой перегиба этой кривой (или функции f(x)), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости кривой.
Теорема 5.9 (необходимое и достаточное условие выпуклости)
Пусть f(x) непрерывна и дважды дифференцируема на (a, b). Для того чтобы, кривая y = f(x) была выпуклой (вогнутой) на (a, b), необходимо и достаточно, чтобы (x((a, b) f (( (x) > 0 (f (( (x) < 0 соответственно).
Теорема 5.10. (необходимое условие точки перегиба)
Если (x0, f(x0)) – точка перегиба кривой y = f(x), то f (( (x0) равна нулю или не существует.
Точки x0( [a, b], в которой f (( (x0) = 0 или не (, называются критическими точками 2-го рода функции y = f(x). Не всякая критическая точка определяет точку перегиба.
Например: у = x4, y(= 4x3, y (( = 12x2 , значит, x = 0 – критическая точка, но перегиба в этой точке график функции не имеет.
Но из определения точки перегиба и теоремы 5.10 следует достаточное условие точки перегиба кривой.
Теорема 5.11.(достаточное условие точки перегиба)
Критическая точка x0 есть абсцисса точки перегиба (x0, f(x0) кривой , если при переходе через эту точку f (((x) меняет знак.
Алгоритм исследования выпуклости и точек перегиба
1.Найти область определения D(f) функции f(x);
2.Найти критические точки xi второго рода: f (( (xi) = 0 или не (;
3.Определить знак f (( (x) в каждом из интервалов, на которые критические точка xi разбивают D(f).
4.Там, где f (( (x) > 0, кривая y = f(x) вогнутая, где f (( (x) < 0 – выпуклая;
5.Точки xk , при переходе через которые меняется знак f (( (x), есть абсциссы точек перегиба. Найти f(xk), записать координаты точек перегиба (xk , f(xk)) графика функции.

Общая схема исследования функции.

Мы рассмотрели характерные особенности изменения функции и ее графика, а так же способы изучения этих особенностей. Эта теория может быть использована при полном исследовании функции с целью подробного построения ее графика.
Общая схема исследования функции y = f(x) и построение её графика включает следующие этапы:
1.Область определение функций D(f).
2.Свойства: чётность, нечётность, симметрия, график, периодичность
3.Точки пересечения с осями координат, интервалы знакопостоянства (y >0, y < 0).
4.Непрерывность, классификация точек разрыва.
5.Асимптоты графика.
6.Интервалы монотонности, точки экстремума .
7.Интервалы выпуклости, точки перегиба.
8.Построение графика.
Пример: Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. Придерживаемся указанного алгоритма.
1.D (f) = (-(; 1)((1; ()
2.D (f) – не симметрична ( функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая, т.к. не имеет тригонометрических составляющих.
3.Пересечение с OX ( y = 0, = 0 ( x = 0, точка (0, 0) есть точка пересечения с ОХ.
Пересечение с OY( x = 0 ( y = 0 – та же точка (0, 0).
4.Так как y= - элементарная, то область ее непрерывности совпадает с областью определения D(f), тогда x = 1 – точка разрыва. Находим
,
,
значит, x=1– точка разрыва II рода (бесконечного разрыва).
5.Из предыдущего пункта следует, что x = 1 – вертикальная асимптота графика данной функции. Найдем наклонные асимптоты:
k = =1, b = =0,
значит, y = x – наклонная асимптота.
6.Найдем интервалы монотонности и экстремумы:
,
Тогда у( = 0 (, откуда x = 0, ;
y( не существует при х =1 ( D(f).
Область определения функции этими точками разбивается на 4 интервала, определим знак производной на каждом из этих интервалов (взяв, например промежуточные точки х=-1, х=0,1, х=1,1, х=2 и вычислив в этих точках значения у(). Получим:
Значит, x = 0 – точка max, ymax=y(0) = 0; x= – точка min, y() =.
На интервалах (– (, 0) и (,+() функция возрастает, а на интервалах (0, 1) и (1, ) функция убывает.
7. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции.

,
откуда у(( = 0 при x = 0 и , y(( не существует при x=1( D(f).
Эти точки разбивают область определения функции на 4 интервала. Определяем знак у(( на каждом из них, взяв, например, промежуточные точки х=-2, х=-1, х=0,5, х=2 и вычислив в этих точках значения у((. Получим:





При переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно, - абсцисса точки перегиба. Находим
y= ,
значит, точка (,) – точка перегиба. Других точек перегиба нет.
На интервалах (– (, ) и (1, +() график функции вогнутый.
На интервале (, 1) – график выпуклый.

Сведем полученные результаты в таблицу:

X
(-(;)

(; 0)
0
(0, 1)
(1;)

(;()

у(
+
(
+
0
(
(
0
+

у((
+
0
(
0
(
+

+


у
у( у = х при х( –(


0



у(1–0)=–(



у(1+0)=+(

у( у = х при х( +(

По этим данным построим график функции.














а

b

f(а) = f(b)

c

Рис. 1

а

А

С

В

с

b

f (а)

f (b)

Рис. 2

(

х

Рис. 3

А

В

С

D

Рис.4

а

х2

х1

b

а

х1

х2 = b

Рис.5

Рис.6

б)

а)



а

х1

х2

b





х0

f (х0)

М0

0

1

+

+







у(



0

1

у((

+





+

1

0





у

х