Сетевая библиотекаСетевая библиотека

Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах

Дата публикации: 26.10.2018
Тип: Текстовые документы DOCX
Размер: 77 Кбайт
Идентификатор документа: -172615712_479005008
Файлы этого типа можно открыть с помощью программы:
Microsoft Word из пакета Microsoft Office
Для скачивания файла Вам необходимо подтвердить, что Вы не робот


Не то что нужно?


Вернуться к поиску


Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах

Tеорема 1. Если среди векторов есть хоть один нулевой то векторы линейно зависимы.

Tеорема 2. Если к линейно зависимым векторам добавить произвольные векторы , то множество векторов будут линейно зависимы.

Tеорема 3. Если и линейно независимы, то это представление единственно.

Теорема 4. Пусть.

Если векторылинейно независимы, то .

Теорема 5. В n-мерном пространстве любую систему линейно независимых векторов можно дополнить до базиса.

Теорема 6. Каждый вектор можно представить и притом единственным образом как линейную комбинацию векторов базиса.

Изоморфизм линейных пространств

Теорема 1. Все пространства, имеющие одинаковую размерность, изоморфны друг другу.



Прямая сумма подпространств

Теорема 1. Для того чтобы пространство R было разложено в прямую сумму подпространств, необходимо и достаточно, чтобы имели только один общий элемент 0.

Теорема 2. Если-прямая сумма подпространств, то сумма размерностей этих подпространств равна размерности .

Теорема 3. Пусть - два подпространства, , . Тогда

dim R +dim R0 = dim R1+ dim R2

Формулы преобразования координат

, , где

–матрица перехода из базиса в базис; – матрица перехода из базиса в базис .

Евклидово пространство

Неравенство Коши- Буняковского .

Неравенство Минковскогов евклидовом пространстве R имеет место неравенство

.

Теорема 1. Из любого базиса можно сделать ортонормированный базис.

Теорема 2. Скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений одноименных координат.

Линейные операторы

Теорема 1. Произведение линейных операторов

Теорема 2. Матрица произведения операторов равна произведению матриц этих операторов.

Теорема 3. Пусть А – произвольный линейный оператор в R. Тогда сумма размерностей образа и ядра равна размерности пространства.

Матрица линейного оператора в различных базисах.



Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Теорема 1. Ядро и образ линейного оператора инвариантны.

Теорема 2. Характеристический многочлен не зависит от выбора базиса.

Теорема 3. Если оператор А имеет различные собственные значения , то соответствующие им собственные векторы линейно независимы

Билинейные и квадратичные формы. Сопряженный и самосопряженный операторы

Теорема 1. В евклидовом пространстве существует взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными формами.

Теорема 2. Образ оператора и ядро сопряженного оператора ортогональны.

Теорема 3. Собственные числа самосопряженного оператора вещественны.

Теорема 4. Пусть – самосопряженный оператор. Тогда у оператора существуют n попарно ортогональных собственных векторов.

Теорема 5. Пусть – самосопряженный оператор. Тогда существует ортогональный базис, в котором матрица преобразования диагональна и вещественна.

Теорема 6. Собственные векторы, отвечающие различным собственным числам ортогональны.

Теорема 7. Образ самосопряженного оператора и его ядро ортогональны.

Теорема 8. Пусть - линейный самосопряженный оператор в евклидовом пространстве над полем вещественных чисел и пусть – его квадратичная форма. Тогда в существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма равна сумме квадратов: .

Теорема 9. Число отрицательных коэффициентов в квадратичной форме, приведенной к сумме квадратов, равно числу перемен знака в последовательности определителей .

Теорема Сильвестра. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все .

Закон инерции. Если квадратичная форма приведена к сумме квадратов, то число положительных и отрицательных коэффициентов, а следовательно, и нулевых будет одно и то же.