Сетевая библиотекаСетевая библиотека

контрольная работа по математике

Дата публикации: 08.02.2019
Тип: Текстовые документы DOC
Размер: 517 Кбайт
Идентификатор документа: -35982457_490043645
Файлы этого типа можно открыть с помощью программы:
Microsoft Word из пакета Microsoft Office
Для скачивания файла Вам необходимо подтвердить, что Вы не робот


Не то что нужно?


Вернуться к поиску
Вариант Высшая математика Контрольная работа Задача 1 Дан треугольник с вершинам: , , . Найти: координаты точки пересечения медиан; координаты точки пересечения высот; длину высоты, опущенной из вершины . Дано: , , . Решение: 1) Для определения координат точки пересечения медиан необходимо составить уравнения двух медиан треугольника. Найдём уравнение медианы, опущенной из вершины на прямую . Пусть она пересекает в точке . Т.к. – медиана, то отрезки и равны, т.е. точка делит отрезок пополам. Тогда координаты середины отрезка (точки ) равны , . Координаты точки: . Уравнение медианы определим по двум заданным точкам . – уравнение медианы . Найдём уравнение медианы, опущенной из вершины на прямую . Пусть она пересекает в точке . Т.к. – медиана, то отрезки и равны, т.е. точка делит отрезок пополам. Тогда координаты середины отрезка (точки ) равны , . Координаты точки: . Уравнение медианы определим по двум заданным точкам . – уравнение медианы . Определим координаты точки пересечения медиан и : откуда , . Итак, медианы пересекаются в точке . 2) Для определения координат точки пересечения высот треугольника необходимо составить уравнения двух высот треугольника. Найдём уравнение высоты, опущенной из вершины на прямую . Пусть высота пересекает сторону в точке . По определению, высота перпендикулярна стороне треугольника, значит, зная угловой коэффициент уравнения стороны , мы сможем найти уравнение высоты , опущенной на неё. Найдём уравнение стороны по двум точкам: . – уравнение , угловой коэффициент . Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной данной, определяется так . Уравнение высоты найдём по угловому коэффициенту и заданной точке. , – уравнение высоты . Найдём уравнение высоты, опущенной из вершины на прямую . Пусть высота пересекает сторону в точке . Сначала найдём уравнение стороны : . – уравнение , угловой коэффициент . Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной данной, определяется так . Уравнение высоты найдём по угловому коэффициенту и заданной точке. , – уравнение высоты . Определим координаты точки пересечения высот и : откуда , . Итак, высоты пересекаются в точке . 3) Длину высоты определим как расстояние от точки до прямой . , где , и – коэффициенты уравнения . – уравнение . . Задача 3 Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой равно 1. Привести это уравнение к каноническому виду и сделать чертёж. Решение: Найдем расстояние от некоторой точки линии до точки и до прямой . Расстояние до точки равно: . Расстояние до прямой равно: . Рис. 1. Тогда должно выполняться соотношение , . Возведем обе части уравнения в квадрат: , , , . Итак, мы получили уравнение параболы с вершиной в точке , фокальным параметром и ветвями обращёнными вправо! Вид полученной кривой представлен на рис.1. Задача 4 Пирамида задана вершинами. Найти: уравнение плоскости, проходящей через точки , и ; величину угла между ребром и гранью ; уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Дано: , , , . Решение: 1) Определи уравнение плоскости , проходящей через точки , и . По определению векторного произведения векторов, результирующий вектор будет перпендикулярен обоим исходным. Т.о., если два вектора лежат в одной плоскости, то их векторное произведение будет нормалью к данной плоскости. Найдём : . Найдём : . Вычислим векторное произведение векторов: или можно записать так . – вектор нормали к плоскости . Запишем уравнение плоскости по вектору нормали и точке : , , – уравнение плоскости . 2) Найдём угол между ребром и гранью . Т.к. при векторном произведении векторов получается вектор нормальный к обоим перемножаемым, то вектор нормален к грани . Определим угол между вектором и ребром . . Найдём : . Определим длину этого вектора: . Определим длину этого вектора : . Тогда . . Если угол между нормалью к грани и ребром равен , то острый угол между ребром и самой гранью равен . Итак, угол между ребром и гранью составляет . 3) Найдём уравнение высоты, опущенной из вершины на грань. Вектор нормали к плоскости может служить направляющим вектором для высоты, опущенной из вершины. Т.о. запишем уравнение высоты в каноническом виде: , – каноническое уравнение высоты, опущенной из вершины на грань. Длину этой высоты определим как расстояние от точки до плоскости . , где , , и – коэффициенты уравнения плоскости . – уравнение плоскости . . Задача 5 Заданы точки , , плоскость и прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точки и ; уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости ; уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Дано: , , : , : Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки и . Направляющим вектором этой прямой может послужить вектор с координатами . Тогда каноническое уравнение прямой можно записать в виде , –уравнение прямой . Составим уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости . Направляющим вектором этой прямой может являться нормальный вектор к плоскости . Плоскость имеет уравнение , следовательно, нормальный к ней вектор имеет координаты . Тогда каноническое уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости , может быть записано в виде: , или – каноническое уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости . Определим уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Прямая задана в параметрическом виде. Перепишем её уравнение в каноническом виде. – уравнение в каноническом виде. Направляющий вектор этой прямой имеет вид: . Коли прямая перпендикулярна искомой плоскости, то её направляющий вектор может служить для плоскости нормальным вектором. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой , можно записать так , , – уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой . 1